Funkcja produkcji stałej elastyczności substytucji jest zdefiniowana jako:

( Źródło z Wikipedii )

$$Q=F \boldsymbol{\cdot}\left(a\boldsymbol{\cdot}K^r+(1-a)\boldsymbol{\cdot}L^r \right)^{1\over{r}}$$

Gdzie:

$Q=$ ilość produkcji

$F=$ wydajność czynnika

$a=$ parametr udziału (tj. )$0 < a <1$

$K, L=$ Ilości czynników produkcji

$r= {\left(s-1 \right)\over{s}}$

$s= {1\over{1-r}}=$ Elastyczność subskrypcji

Moje pytanie:

Chociaż jest to dość elegancka formuła, jak się ją wywodzi?

Funkcję CES można wyprowadzić bezpośrednio z warunku stałej elastyczności podstawienia. Można to zrobić na różne sposoby, ale najprostsze wyprowadzenie występuje dla homotetycznej funkcji produkcyjnej. Załóżmy, że zaczynamy od homotetycznej funkcji produkcyjnej i przepisujemy ją w intensywnej formie jako:$Q = f^*(K, L)$

$$\begin{matrix} q = f(k) & & q \equiv Q/L & & k \equiv K/L. \end{matrix}$$

W tym przypadku elastyczność substytucji można przedstawić jako:$s$

$$s = - \frac{f'(k)(f(k) - kf'(k))}{kf(k)f''(k)}.$$

Pozostawienie ponowne uporządkowanie tego równania daje równanie różniczkowe drugiego rzędu:$r \equiv (s-1)/s$

$$\frac{kf(k)f''(k)}{1-r} + f'(k)(f(k) - kf'(k)) = 0.$$

To równanie ma ogólne rozwiązanie gdzie i są stałymi. Parametryzacja za i i podstawienie w celu uzyskania rozbudowanej formy daje:$q = f(k) = c_0 (1 + c_1 k^r)^{1/r}$$c_0$$c_1$$a \equiv c_1$$F \equiv c_0 \cdot c_1^{1/r}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} Q = Lq = Lf(K/L) &= c_0 L \left( \left( 1 + c_1 \frac{K}{L} \right)^r \right)^{1/r} \\ &= c_0 \left(c_1 K^r + L^r \right)^{1/r} \\ &= F \left(a K^r + (1-a) L^r \right)^{1/r}. \end{aligned} \end{equation}$$

Parametr można interpretować jako kapitałochłonność produkcji, a parametr można interpretować jako ogólną wydajność produkcji.$a$$F$