Jakie są konieczne i wystarczające warunki dla funkcji użyteczności dla substytutów brutto?

Jakie są konieczne i wystarczające warunki dla funkcji użyteczności dla substytutów brutto? Substytuty brutto to:

$$   frac {dx ^ * _ i} {dp_j} ge 0 all_ {i, j} i j j $$

The papier @Henry, o którym mowa w komentarzach, w dużej mierze odpowiada na to pytanie. W celu zamknięcia i podsumowania jist, otwiera się papier:

Jak dobrze wiadomo, przypadek, w którym wszystkie nadmiarowe wymagania mają właściwość substytutu brutto, to taki, w którym można uzyskać bardzo silne wyniki dotyczące wyjątkowości i stabilności ogólnej równowagi. Biorąc pod uwagę, jak długo to wiadomo, jest chyba godne uwagi, że najwyraźniej nie posiadamy dogodnej charakterystyki klasy funkcji użyteczności, które dają indywidualne funkcje popytu z substancją zastępczą brutto. ... [Ta] notatka przedstawia charakterystykę całej klasy funkcji użytkowych o właściwościach zastępczych brutto. Ponieważ głównym przedmiotem zainteresowania tej właściwości jest analiza równowagi ogólnej, będziemy się głównie zajmować funkcjami popytu, które powstają raczej w warunkach wymiany niż w przypadku tych, które powstają, gdy dochód jest stały, niezależnie od cen. Rozszerzenie wyników na drugi przypadek podano na końcu artykułu.

Głównym rezultatem jest, na rynku giełdowym, jakiekolwiek początkowe wyposażenie (cytowanie bezpośrednio):

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby $ U (x) $ miał GS, jest to, że dla każdego $ i, j = 1, ..., n, j i i, dodatni dochód $ Y $ i ściśle dodatni wektor ceny $ p $:

$$   eta_ {ij} & gt; max (e_i, e_j, e_i (1 - frac {1} {alfa_j}), e_j (1 - frac {1} {alfa_i})) $$

Gdzie:

• $ e_i $ jest elastycznością dochodu i-ty towar, $ frac {częściowo x_i} {częściowy Y} / frac {Y} {x_i} $.
• $ alfa_i $ to proporcja wydatków przeznaczonych na i-ty towar, $ alfa_i = frac {p_ix_i} {Y} $.
• $ eta_ {ij} $ to elastyczność substytucji i-ty do j-ty tak zwanego rodzaju „Allen-Uzara” (cokolwiek to jest - patrz papier).

Są pewne wnioski.

Główną komplikacją z tym wszystkim jest ty mieć brać pod uwagę dochód lub elastyczność dochodową. Niektóre szerokie klasy funkcji użytkowych wystarczający niezależnie od GS, są one bardzo krótko wspomniane w intro papieru.