Pomóc zrozumieć mnożniki Lagrangian?

Próbuję zrozumieć mnożniki Lagrangian i wykorzystuję przykładowy problem, który znalazłem w Internecie.

Konfiguracja problemu:

Rozważmy konsumenta z funkcją narzędzia , gdzie . Załóżmy, że ten konsument ma bogactwo a ceny . To wszystko, co otrzymaliśmy.$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

Praca, którą wykonałem:

Następnie zdefiniowałem równanie ograniczenia budżetowego: . Następnie zdefiniowałem również powiązany Lagrangian dla problemu maksymalizacji konsumenta: . Λ ( x , y , λ ) = x α y 1 - α + λ ( ( x p x + y p y ) - w $w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Moje pytanie:

Na co pozwala mi to równanie? Chociaż ustawiłem to, biorąc pod uwagę wzór na stronie Wikipedii na temat mnożników Lagrangiana, naprawdę nie mam pojęcia, jaki jest cel tego równania. Nie rozumiem, w jaki sposób podane równanie pozwala mi określić, jak zmaksymalizować moją funkcję użyteczności.

Uwaga: znam fizykę wielowymiarową i Lagrangianów ( ) w fizyce, ale ta metoda jest dla mnie nowa.$L = T -V$

Ograniczona funkcja optymalizacji maksymalizuje lub minimalizuje cel podlegający co najmniej jednemu ograniczeniu. Jak rozumiem, podejście z mnożnikiem Lagrangiana przekształca ograniczony problem optymalizacji (I) w nieograniczony problem optymalizacji (II), w którym optymalne wartości kontrolne dla problemu II są również optymalnymi wartościami kontrolnymi dla problemu I. Dodatkowo cel działa w problemy I i II przyjmują te same optymalne wartości. Sztuczka to sprytny sposób na umieszczenie ograniczeń w funkcji celu bezpośrednio, zamiast używania ich osobno.

Zgadzam się z twoją prezentacją problemu maksymalizacji konsumenta: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Teraz bierzemy pochodne cząstkowe względem x an y, ustawiamy je na zero, a następnie rozwiązujemy dla x * i y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(równ. 1)$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

Odzyskaj równanie ograniczenia budżetowego, przyjmując częściową pochodną .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

(równ. 2)$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

Mamy teraz dwa równania i dwie niewiadome (x, y) i możemy rozwiązać dla x * i y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(wynik 1)$\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

(wynik 2)$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

Wyniki 1 i 2 stanowią słynny stały udział wydatków w funkcji użyteczności i produkcji Cobba-Douglasa. Które można również jednoznacznie rozwiązać dla x * i y *: i y ∗ = ( 1 - α ) w / p y, które są optymalnymi wartościami dla problemów Lagrangiana i pierwotnych.$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Ma to na celu intuicję, a nie rygor i zakłada, że ​​wiemy, w jaki sposób chcesz odejść od ograniczenia. Tutaj jest łatwo; chciałbyś przepłacać, więc wzywamy Lagrange'a, aby dyscyplinował cię do wydawania a nie więcej. Pomyśl o problemie w następujących krokach:$w$

1. Chcesz wyjść i zjeść pizzę ( ) i piwo ( y ) oraz poprosić rodziców o pożyczenie karty kredytowej.$x$$y$
2. Twoi rodzice cię znają, więc z kartą kredytową otrzymujesz następujące ostrzeżenie: jeśli wydasz więcej niż , pozwolimy naszemu złemu sąsiadowi, panu Lagrange'owi, uderzyć cię w palce, dostarczając ból o wartości λ jednostek użytkowych za nadwyżkę dolara.$w$$\lambda$
3. Spójrz na Lagrangian; jest to teraz twoja użyteczność bez kary, jako funkcja pizzy ( ), piwa ( y ) i bólu ( λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) ). Z twojego punktu widzenia, po prostu maksymalizujesz to dla danego λ (co oznacza w szczególności, że jeśli λ jest bardzo małe, przekroczenie twojego budżetu rażąco będzie warte niewielkiej liczby uderzeń pana Lagrange'a).$x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. Z punktu widzenia rodziców, chcą oni dostosować do liczby, która sprawia, że ​​dobrowolnie decydujesz się wydać dokładnie w , pozostawiając pana Lagrange'a na dystans. (Wybranie wyższej wartości λ doprowadziłoby do niepełnego wykorzystania, można odpowiednio dostosować interpretację.)$\lambda$$w$$\lambda$
5. Oczywiście wtedy wybierzesz dokładnie poziom, na którym jesteś obojętny między posiadaniem a brakiem pakietu dodatkowej konsumpcji i kary. Stąd interpretacja ceny w tle: jest (a dokładniej: przybliża się do pierwszego rzędu), ile chciałbyś zapłacić - w tych samych jednostkach, co funkcja celu! aby zwiększyć budżet.$\lambda$

Co do sugestii zmiany znaku na ograniczeniu: oczywiście działa matematycznie, ale rzadko używam go do celów instrukcji; pozostawiając go takim, jakim jest, odsłania ograniczenie (które ci się nie podoba, zmniejsza użyteczność) jako ekwiwalent podatku (którego nie lubisz, dla ten sam powód). Z ekonomicznego punktu widzenia masz pojęcie o tym, że ograniczenie jest wdrażane przez podatek, co jest pouczające np. W modelowaniu podatków Pigouvian internalizujących (niepożądane negatywne) efekty zewnętrzne.$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Wykorzystanie mnożników Lgrange do optymalizacji funkcji pod ograniczeniami jest użyteczną techniką , chociaż w końcu zapewnia dodatkowe spostrzeżenia i informacje. Problemem pozostaje kwestia ograniczeń równości

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

można oczywiście przekształcić w nieograniczony problem przez bezpośrednie zastąpienie:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Ogólnie jednak podstawianie bezpośrednie może powodować nieporęczne wyrażenia (szczególnie w przypadku problemów dynamicznych), w których błąd algebraiczny będzie łatwy do popełnienia. Zatem metoda Lagrange'a ma tutaj przewagę. Ponadto mnożnik Lagrange'a ma sensowną interpretację ekonomiczną. W tym podejściu definiujemy nową zmienną, powiedzmy , i tworzymy „funkcję Lagrangeana”$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Po pierwsze należy zauważyć, że jest równoważny do u ( x , y ) , ponieważ dodany część po prawej stronie jest tożsamościowo równa zeru. Teraz maksymalizujemy Lagrangean w odniesieniu do dwóch zmiennych i uzyskujemy warunki pierwszego rzędu$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Przyrównując przez , zapewnia to szybko podstawową zależność$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Ta optymalna relacja, wraz z ograniczeniem budżetowym, zapewnia układ dwóch równań w dwóch niewiadomych, a zatem zapewnia rozwiązanie jako funkcję parametrów egzogenicznych (parametr użyteczności α , ceny ( p x , p y ) i dane bogactwo w ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Aby określić wartość , należy pomnożyć każdy warunek pierwszego rzędu przez odpowiednio x i y, a następnie sumować przez strony, aby otrzymać$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Przy użyteczności jednorodnej stopnia pierwszego, jak ma to miejsce w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, mamy to

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

i tak w optymalnym pakiecie mamy

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

W ten sposób mnożnik Lagrange'a zyskuje sensowną ekonomicznie interpretację: jego wartością jest krańcowa użyteczność bogactwa . Teraz, w kontekście użyteczności porządkowej, użyteczność krańcowa nie jest tak naprawdę znacząca (patrz także dyskusja tutaj ). Ale powyższą procedurę można zastosować na przykład w przypadku problemu minimalizacji kosztów, w którym mnożnik Lagrange'a odzwierciedla wzrost kosztu całkowitego o krańcowy wzrost produkowanej ilości, a więc jest to koszt krańcowy.

Polecam przejrzeć tę odpowiedź akapit po akapicie, upewniając się, że każdy z nich dostanie po kolei, w przeciwnym razie się zdezorientujesz. Możesz nawet zignorować później, jeśli nie jest to konieczne dla twojego celu.

Główną ideą jest to, że jeśli punkt jest warunkowy ekstremum, to koniecznie jest to punkt stacjonarny Lagrangiana, tj. Taki punkt, że wszystkie częściowe pochodne Lagrangiana są w nim zerowe. Aby rozwiązać problem, należy zidentyfikować wszystkie punkty stacjonarne, a następnie znaleźć wśród nich maksimum.

$x= 0$$y = 0$

$x$$y$$x = 0$$y=0$

W przyszłości powinieneś zdawać sobie sprawę z tego, czy taki typ problemu powinien zostać zasadniczo rozwiązany poprzez zastosowanie twierdzenia Kuhna-Tuckera, a ja zalecam zapoznanie się z nim po zapoznaniu się z tym materiałem.

$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ $\lambda$

$\lambda_i$$i$

$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

$\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$