Jak uzyskać funkcję produkcji Leontiefa i Cobba-Douglasa z funkcji CES?

W większości podręczników dotyczących mikroekonomii wspomniana jest funkcja produkcji stałej elastyczności substytucji (CES),

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(gdzie elastyczność podstawienia wynosi ), ma za granicę zarówno funkcję produkcji Leontiefa, jak i Cobba-Douglasa. Konkretnie,$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

i

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Ale nigdy nie dostarczają matematycznego dowodu tych wyników.

Czy ktoś może dostarczyć te dowody?

Co więcej, powyższa funkcja CES zawiera stałe powroty do skali (jednorodność stopnia pierwszego), ponieważ wykładnik zewnętrzny wynosi $-1/\rho$ . Gdyby tak było, powiedzmy $-k/\rho$ , wówczas stopień jednorodności wynosiłby $k$ .

W jaki sposób wpływają na wyniki ograniczające, jeśli $k\neq 1$ ?

Przedstawione przeze mnie dowody opierają się na technikach związanych z faktem, że funkcja produkcji CES ma postać uogólnionej średniej ważonej .
Zostało to wykorzystane w oryginalnym artykule, w którym wprowadzono funkcję CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS i Solow, RM (1961). Zastępowanie kapitału i pracy oraz efektywność ekonomiczna. Przegląd ekonomii i statystyki, 225–250.
Tam autorzy odnieśli swoich czytelników do książki Hardy, GH, Littlewood, JE i Pólya, G. (1952). Nierówności , rozdział .$2$

Rozważamy ogólny przypadek

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Limit, gdy$\rho \rightarrow \infty$
Ponieważ interesuje nas limit, gdy , możemy zignorować interwał, dla którego , i traktować jako ściśle pozytywne.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Bez utraty ogólności załóżmy, że . Mamy również . Następnie sprawdzamy, czy występuje następująca nierówność:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

podnosząc do poziomu mocy aby uzyskać$\rho/k$

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ który rzeczywiście trzyma się, biorąc pod uwagę założenia. Następnie wróć do pierwszego elementu i$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

która umieszcza środkowy wyraz w na , więc$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Zatem dla otrzymujemy podstawową funkcję produkcji Leontiefa.$k=1$

2) Ogranicz, gdy$\rho \rightarrow 0$
Napisz funkcję używając wykładniczej jako

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Rozważ rozszerzenie Maclaurin pierwszego rzędu (rozszerzenie Taylora wyśrodkowane na zero) terminu wewnątrz logarytmu, w odniesieniu do :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Włóż to z powrotem do i pozbądź się zewnętrznego wykładnika,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

Jeśli jest nieprzezroczysty, zdefiniuj i ponownie napisz$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Teraz wygląda jak wyrażenie, którego granica w nieskończoności da nam coś wykładniczego:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

Stopień jednorodności funkcji jest zachowany, a jeśli otrzymujemy funkcję Cobba-Douglasa.$k$$k=1$

To właśnie ten ostatni wynik, który wykonany Strzałek i Co zadzwonić parametr „dystrybucja” funkcji CES.$a$

Regularna metoda zdobywania Cobba-Douglasa i Leotiefa jest regułą L'Hôpital .

Należy również zastosować inne metody. Ustawienie zostanie zwrócone i Przez Łączną pochodną za pomocą różnic będziemy mieli Przy niektórych manipulacjach otrzymamy nasze główne równanie.$\gamma=1$$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Funkcja liniowa :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Funkcja Cobba-Douglasa : Wyjęcie całki z obu stron dałoby wynik

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Funkcja Leontief :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$