Zastosowania / uogólnienia twierdzenia Debreu

Chciałbym wiedzieć, w jaki sposób ostatnie twierdzenie w pracy Debreu „Sąsiedzi pośredników gospodarczych” (La Decyzja 171 (1969): 85-90; przedruk w G. Debreu, Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), s. 173) -178) zostało użyte:

Twierdzenie. Dla przestrzeni topologicznej i przestrzeni metrycznej niech będzie mapowaniem o ustalonej wartości od do która ma zwartą wartość (tj. jest zwarta dla każdego ) i ciągła . Ponadto, dla każdego niech będzie całkowitym zamówieniem na \ varphi (e) tak, że zbiór \ {(e, x, y) \ in M ​​\ razy H \ razy H: x \ lesssim_e y \} zamknięte. Następnie mapowanie o ustalonej wartości \ varphi ^ 0 od M do H gdzie$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

ma kompaktową wartość i górną pół-ciągłą .

Zauważ, że twierdzenie wygląda podobnie do znanego maksymalnego twierdzenia Berge'a. Przed stwierdzeniem twierdzenia Debreu pisze, że jego szczególne przypadki „były wielokrotnie stosowane w teorii równowagi ekonomicznej i teorii gier”, ale nie podaje żadnych odniesień; w samym dokumencie służy on do wykazania górnej pół-ciągłości korespondencji popytowej dla agenta w gospodarce walutowej.

Szczególnie interesuje mnie to, czy pojawiły się jakieś niedawne zastosowania lub uogólnienia tego twierdzenia, np. Do odwzorowań, które nie mają zwartej wartości.

Pytania: Jakie są dobre przykłady i / lub odniesienia do zastosowań powyższego twierdzenia? Czy został uogólniony na odwzorowania, które nie mają zwartej wyceny?

Ten wynik jest rzeczywiście wersją maksymalnego twierdzenia Berge'a. Jeśli istnieje funkcja ciągła taka, że wtedy i tylko wtedy, gdy , można uzyskać wynik bezpośrednio z maksymalnego twierdzenia Berge'a. Jeśli jest lokalnie zwarty, jak to jest w przypadku, gdy , to zawsze można znaleźć taką funkcję, wynika to z Twierdzenia 1 w Mas-Colell's On the Continuous Representation of Preorders (przynajmniej jeśli jest metriizowalny, nie jestem pewien w tej kwestii). Więcej na temat takich „wspólnie ciągłych funkcji użyteczności” można znaleźć w rozdziale 8 „ Reprezentacje kolejności preferencji”$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, autorstwa Bridges & Mehta.

Teraz Debreu nie miał takiego rezultatu, więc pracował z relacjami preferencji i zasadniczo potwierdził maksymalne twierdzenie Berge'a (uogólnienie jest matematycznie proste). Dlaczego to zrobił? Aby to zrozumieć, należy zrozumieć sens pracy Debreu, w której znajduje się topologia relacji preferencyjnych, która ma właściwości nioce i sprawia, że ​​zachowania ekonomiczne są ciągłe. Potrzeba takiego wyniku wynika z literatury ekonomicznej z ciągłością czynników.

Co to znaczy, że kontinuum ekonomii agentów jest granicą sekwencji skończonych eonomii? Jedną odpowiedzią jest to, że rozkład cech charakterystycznych czynników jest zbieżny z rozkładem cech charakterystycznych w gospodarce ciągłości, więc pojęcie zbieżności jest zbieżnością w rozkładzie. Aby ten pomysł działał, należy topologować cechy agentów. Teraz agent charakteryzuje się wyposażeniem i preferencjami (aw bardziej ogólnych modelach zestawem konsumpcji). Istnieje naturalna topologia wyposażenia, euklidesowa topologia, ale topologizacja preferencji jest mniej prosta i tak właśnie zrobił Debreu w swoim artykule. Ekspozycję tego podejścia dystrybucyjnego można znaleźć w Hildenbrand 1974, Rdzeń i równowaga dużej gospodarki .

Teraz są przypadki, w których chciałoby się zastosować twierdzenie Berge'a w odniesieniu do niekompaktowych zbiorów wyborów. Może to być ważne przy badaniu gospodarek z nieskończonymi wymiarami przestrzeni towarowych, w których zamknięcie i ograniczenie nie implikuje zwartości. Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest znalezienie zwartego zestawu, tak aby korespondencja była zwarta i niepusta, gdy ograniczono się do tego zestawu. Istnieje obszerna, bardzo techniczna literatura na temat „uogólnionych gier” lub „abstrakcyjnych ekonomii” (zasadniczo gry o normalnym kształcie, w których przestrzenie strategiczne zależą od działań innych), i w sposób dorozumiany często zawierają niezbyt zwarte uogólnienia twierdzenia Berge'a. Jeśli potrafisz zdobyć książkę, sprawdź rozdział 4 Xian-Zhi Yuan 1999, Teoria KKM i zastosowania w analizie nieliniowej. Mam jednak wrażenie, że wyniki te okazały się niezbyt przydatne w zastosowaniach ekonomicznych. Aby udowodnić istnienie równowagi Walrasa w modelach z nieskończonymi wymiarowymi przestrzeniami towarowymi, zwykle stosuje się różne metody.