Optymalizacja dynamiczna: co się stanie, jeśli warunek drugiego rzędu nie zostanie spełniony?

Rozważ następujący problem optymalizacji dynamicznej

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOC

Hamiltonian podaje się przez Warunki niezbędne dla optymalności są podane przez maksimum zasada ∂

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Załóżmy, że jest maksymalizatorem, tj. .$u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$$H_{uu} < 0$

SOC

Twierdzenie Wystarczające Strzałka stwierdza, że ​​niezbędne warunki są wystarczające, jeśli zmaksymalizowany hamiltonian jest wklęsły w , tj. jeśli .

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ $x$$H_{xx} < 0$

Problem

Załóżmy, że FOC trzymają, ale SOC nie trzyma.

• Co można powiedzieć o optymalności rozwiązania?

Nie ma jednej odpowiedzi, będzie zależeć od szczegółów każdego problemu. Spójrzmy na standardowy przykład.

Rozważ wzorcowy problem optymalizacji międzyokresowej dla modelu Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Obecna wartość to Hamiltonian

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Mamy maksymalizację samego$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

a warunek drugiego rzędu zostanie zachowany, jeśli funkcja użyteczności jest wklęsła,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Co więcej, od warunku pierwszego rzędu w odniesieniu do zużycia, jeśli utrzymuje się lokalne niezadowolenie. Załóżmy, że mamy takie „zwykłe” preferencje.$\lambda >0$

Maksymalizm konsumpcji Hamiltonian jest

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Pochodne cząstkowe w odniesieniu do zmiennej stanu, są$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Tak więc tutaj warunek wystarczalności Arrow-Kurza sprowadza się do tego, czy krańcowy iloczyn kapitału maleje, stale czy rośnie (co będzie zależeć od znaku drugiej pochodnej funkcji produkcji). W standardowym przypadku i mamy wystarczający warunek.$f''(k) < 0$

W najsłynniejszym przypadku odchylenia model Romera, który zapoczątkował literaturę o rozwoju endogennym, , a krańcowy produkt kapitału jest stałą dodatnią.f ″ ( k ) = $AK$$f''(k) =0$

Co więc możemy powiedzieć w tym przypadku?

Tutaj, Seierstad, A., i Sydsaeter, K. (1977). Wystarczające warunki w teorii optymalnego sterowania. Międzynarodowy przegląd ekonomiczny, 367-391. zapewnić różne wyniki, które mogą nam pomóc.

W szczególności dowodzą, że jeśli Hamiltonian jest wspólnie wklęsły w i , jest to warunek wystarczający dla maksimum. Hessian z Hamiltonian jest$c$$k$

(możemy zignorować warunki rabatu)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

W standardowym przypadku z jest to ujemna określona macierz, a zatem Hamiltonian jest ściśle wklęsły w i . c $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Gdy , sprawdzenie, czy macierz jest ujemna, jest pół-skończona przy użyciu definicji. Rozważ wektor i produkt$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

ta słaba nierówność utrzymuje , a więc Hesjan jest wspólnie wklęsły w i .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Tak więc w modelu endogennego wzrostu rozwiązanie jest rzeczywiście maksimum (z zastrzeżeniem ograniczeń parametrów niezbędnych do prawidłowego zdefiniowania problemu).$AK$