Przykłady ekonomiczne (pod) martingales

Martyngał (czas dyskretny) to proces stochastyczny który spełnia wszystkie , i A podzbiór podrzędny to jeden z . t ∈ N E ( | X t | ) < ∞ E ( X t + 1 | X 1 , … , X t ） = X t . E ( X t + 1 | X 1 , … , X t ） ≥ X $\{X_t\}_{t\in\mathbb N}$$t\in\mathbb N$

$$E(|X_t|)<\infty$$ $$E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）=X_t.$$ $E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t$

Znam klasyczny przykład wypłaty gracza w uczciwej grze. Mam jednak nadzieję znaleźć inne przykłady martingales i submartingales z prawdziwego świata, zwłaszcza te dotyczące ekonomii. Najlepiej byłoby, gdyby przykłady te miały jakieś wsparcie empiryczne.

$E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t$

$$E\Big[E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t)\Big]=E(X_{t+1}) \geq E(X_t)$$

Tak więc sub-martingale ma również swoją bezwarunkową oczekiwaną wartość niezmalającą. Dlatego każda zmienna ekonomiczna, która wydaje się konsekwentnie zwiększać wartość, jest kandydatem do bycia pod-martingale, ponieważ definiująca tutaj własność definiuje tylko przeszłość zmiennej, a nie inne czynniki, które mogą na nią wpływać. Produkt krajowy / PKB można racjonalnie modelować jako sub-martingale, ponieważ historycznie „zawsze” rośnie, z wyjątkiem katastrofalnych zdarzeń.

Ogólnie rzecz biorąc, każda zmienna ekonomiczna, którą można modelować jako losowy spacer z dryfem nieujemnym,

$$X_{t+1} = \alpha + X_{t} + u_t,\;\; \alpha \geq 0$$

jest sub-martingale.