Rozwiązywanie równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana; konieczne i wystarczające dla optymalności?

Rozważ następujące równanie różniczkowe gdzie jest stanem, a zmienną kontrolną. Rozwiązanie podano przez gdzie to podany stan początkowy.

\begin{aligned} \dot{x} (t) = f (x (t), u (t)) \end{aligned}

$\begin{align} \dot x(t)=f(x(t),u(t)) \end{align}$

x

$x$

u

$u$

\begin{aligned} x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} f (x (s), u (s)) d s . \end{aligned}

$\begin{align} x(t)=x_0 + \int^t_0f(x(s),u(s))ds. \end{align}$

x_{0} := x (0)

$x_0:=x(0)$

Teraz rozważ następujący program gdzie oznacza preferencję czasową, jest wartością, a funkcja celu. Klasycznym zastosowaniem ekonomicznym jest model optymalnego wzrostu Ramsey-Cass-Koopmansa. Równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana podaje:

\begin{aligned} V (x_{0}) := max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F (x (t), u (t)) d t \\ s . t . & \dot{x} (t) = f (x (t), u (t)) \\ x (0) = x_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &V(x_0) := \max_u \int^\infty_0 e^{-\rho t}F(x(t),u(t))dt\\ s.t.~&\dot x(t)=f(x(t),u(t))\\ &x(0) = x_0 \end{align}$

ρ > 0

$\rho > 0$

V (\cdot)

$V(\cdot)$

F (\cdot)

$F(\cdot)$

\begin{aligned} ρ V (x) = max_{u} [F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u)], \forall t \in [0, \infty) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)=\max_u [F(x,u) + V'(x)f(x,u)],\quad \forall t\in[0,\infty). \end{align}$

Powiedzieć ja rozwiązał HJB dla $V$ . Optymalną kontrolę daje następnie

\begin{aligned} u^{*} = \arg max_{u} [F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u)] . \end{aligned}

$\begin{align} u^*=\arg\max_u [F(x,u) + V'(x)f(x,u)]. \end{align}$ Zdobędę optymalne trajektorie dla stanu i kontroli

{(x^{*} (t), u^{*} (t)) : t \in [0, \infty)}

$\{(x^*(t),u^*(t)):t\in[0,\infty)\}$ .

Artykuł na wiki mówi

... ale rozwiązane w całej przestrzeni stanów równanie HJB jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do uzyskania optymalnego.

W Bertsekas (2005) Programowanie dynamiczne i kontrola optymalna , tom 1, wydanie trzecie, w Propozycji 3.2.1 stwierdza, że rozwiązanie dla $V$ jest optymalną funkcją kosztu przejścia, a związane z nią $u^*$ jest optymalne. Jednak jednoznacznie deklaruje to jako twierdzenie wystarczalności.

Właściwie chcę tylko upewnić się, że jeśli rozwiążę HJB i odzyskam powiązany stan i kontroluję trajektorie, nie muszę się martwić żadnymi dodatkowymi warunkami optymalizacyjnymi.

Rozwiązanie

Próbuję

Myślę, że udało mi się wyprowadzić niezbędne warunki z zasady maksimum na podstawie samego równania HJB.

Zdefiniuj hamiltonian

\begin{aligned} H (x, u, V^{'} (x)) := F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,V'(x)) := F(x,u) + V'(x)f(x,u) \end{align}$

wtedy mamy

\begin{aligned} ρ V (x) = max_{u} H (x, u, V^{'} (x)) \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)=\max_u H(x,u,V'(x)) \end{align}$

czyli

\begin{aligned} ρ V (x) = H (x, u^{*}, V^{'} (x)) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)= H(x,u^*,V'(x)). \end{align}$

Zdefiniuj dowolną funkcję pomocą . Teraz napraw $q:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ $q(0)=\lim_{t\to\infty} q(t)=0$

\begin{aligned} x = x^{*} + ε q \end{aligned}

$\begin{align} x = x^*+\varepsilon q \end{align}$

gdzie jest parametrem. Podłącz ten termin do zmaksymalizowanego hamiltonianu, który daje $\varepsilon\in\mathbb{R}$

\begin{aligned} ρ V (x^{*} + ε q) = H (x^{*} + ε q, u^{*}, V^{'} (x^{*} + ε q)) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x^*+\varepsilon q)= H(x^*+\varepsilon q,u^*,V'(x^*+\varepsilon q)). \end{align}$

Przy mamy optymalne rozwiązanie. Zatem różnicuj w stosunku do aby uzyskać warunek pierwszego rzędu $\varepsilon = 0$ $\varepsilon$

\begin{aligned} ρ V^{'} q = H_{x} q + H_{V^{'}} V^{″} q . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V'q = H_x q + H_{V'}V''q. \end{align}$

Teraz zdefiniuj zmienną sąsiadującą za pomocą

\begin{aligned} λ = V^{'} (x) . \end{aligned}

$\begin{align} \lambda = V'(x). \end{align}$

Zróżnicuj w czasie

\begin{aligned} \dot{λ} = V^{″} \dot{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \dot \lambda = V''\dot x. \end{align}$

i zauważ, że

\begin{aligned} H_{V^{'}} = f (x, u) = \dot{x} . \end{aligned}

$\begin{align} H_{V'} = f(x,u) = \dot x. \end{align}$

Podłącz wszystko do fokusa, który daje

\begin{aligned} ρ λ = H_{x} + \dot{λ} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho \lambda = H_x + \dot \lambda. \end{align}$

To tyle. Tak więc rozwiązanie HJB jest rzeczywiście konieczne i wystarczające (tutaj pominięte) dla optymalności. Ktoś powinien dodać go do wiki. Może zaoszczędzić czas ludziom myślącym o takich problemach (chyba nie będzie dużo).

Jednak brakuje warunku poprzeczności .

\begin{aligned} lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{t\to\infty} e^{-\rho t}\lambda(t) = 0 \end{align}$

II Próba

Zdefiniuj funkcjonalność wypłaty

\begin{aligned} J (u) := \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F (x, u) d t \end{aligned}

$\begin{align} J(u):=\int^\infty_0 e^{-\rho t}F(x,u)dt \end{align}$

Zauważ, że z definicji . Dodaj neutralny termin do wypłaty funtional

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ [f (x, u) - \dot{x}] d t = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda[f(x,u) - \dot x]dt} = 0 \end{align}$

\dot{x} = f (x, u)

$\dot x = f(x,u)$

\begin{aligned} J (u) & = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [F (x, u) + λ f (x, u)] d t - \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ \dot{x} d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} H (x, u, λ) - \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ \dot{x} d t \end{aligned}

$\begin{align} J(u)&=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[F(x,u)+\lambda f(x,u)]dt - \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda\dot xdt}\\ &=\int^\infty_0 e^{-\rho t}H(x,u,\lambda) - \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda\dot xdt} \end{align}$

Integracja przez części poprawnego terminu daje

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} λ \dot{x} d t = [e^{- ρ t} λ (t) x (t)]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} x (\dot{λ} - ρ λ) d t \end{aligned}

$\begin{align} \int^\infty_0{e^{-\rho t}\lambda\dot xdt} = [e^{-\rho t}\lambda(t)x(t)]^\infty_0 - \int^\infty_0{e^{-\rho t}x(\dot \lambda-\rho\lambda)dt} \end{align}$

Ponownie podstaw ten termin

\begin{aligned} J (u) = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [H (x, u, λ) + x (\dot{λ} - ρ λ)] d t - lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) x (t) + λ (0) x (0) \end{aligned}

$\begin{align} J(u)=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[H(x,u,\lambda) + x(\dot \lambda-\rho\lambda)]dt - \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t)x(t) + \lambda(0)x(0) \end{align}$

Zdefiniuj

\begin{aligned} x & = x^{*} + ε q \\ u & = u^{*} + ε p \end{aligned}

$\begin{align} x &= x^*+\varepsilon q\\ u &= u^*+\varepsilon p \end{align}$

co daje

\begin{aligned} J (ε) = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [H (x^{*} + ε q, u^{*} + ε p, λ) + (x^{*} + ε q) (\dot{λ} - ρ λ)] d t - lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) [x^{*} (t) + ε q (t)] + λ (0) x (0) \end{aligned}

$\begin{align} J(\varepsilon)=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[H(x^*+\varepsilon q,u^*+\varepsilon p,\lambda) + (x^*+\varepsilon q)(\dot \lambda-\rho\lambda)]dt - \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t)[x^*(t)+\varepsilon q(t)] + \lambda(0)x(0) \end{align}$

FOC dla maksymalnej $J_\varepsilon = 0$

\begin{aligned} J_{ε} = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} [H_{x} q + H_{u} p + q (\dot{λ} - ρ λ)] d t - lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) q (t) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} J_\varepsilon=\int^\infty_0 e^{-\rho t}[H_x q + H_u p + q(\dot \lambda-\rho\lambda)]dt - \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t)q(t) = 0 \end{align}$

Ponieważ i są nieograniczone, musimy mieć $q$ $p$

\begin{aligned} H_{u} & = 0 \\ H_{x} & = ρ λ - \dot{λ} \\ lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} H_u &= 0\\ H_x &= \rho\lambda - \dot \lambda\\ \lim_{t\to\infty}e^{-\rho t}\lambda(t) &= 0 \end{align}$

mathematical-economics reference-request dynamic-programming bezradny
źródło

czy określiłeś już niezbędne i wystarczające warunki?

Jamzy

W jakim kontekście gospodarczym to się pojawia?

Stan Shunpike,

Model Ramseya, na przykład cer.ethz.ch/resec/people/tsteger/Ramsey_Model.pdf

nieświadomy

Myślę, że ten wątek jest bardziej odpowiedni dla math.stackexchange.com, ponieważ nie jest tak naprawdę powiązany z econ. Mod może to przenieść.

nieświadomy

Nie jestem pewien, o co tu pytamy: jeśli rozwiązanie BJJ przez Hertta Bertsekas jest wystarczające , nie musisz „martwić się dodatkowymi warunkami optymalizacyjnymi”. „Tylko wystarczające” w stosunku do „konieczne i wystarczające” powstałoby, gdyby HJB nie zostało rozwiązane - w takim przypadku można by powiedzieć „nie oznacza to, że nie ma rozwiązania”. Nawiasem mówiąc, wasze Próby I i II są tutaj cenną treścią - pierwsza pokazuje link między HJB i Optymalną Kontrolą, druga pokazuje, w jaki sposób można uzyskać FOC Kontroli Optymalnej.

Alecos Papadopoulos

Rozwiązywanie równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana; konieczne i wystarczające dla optymalności?

Rozwiązanie

Odpowiedzi: