Pośrednia makroekonomia: optymalny pakiet dla quasilinear użyteczności?

Jak mógłbym rozwiązać to pytanie:

Zakładając, że funkcja użyteczności konsumenta to $U(C,L)=c+2l^{0.5}$ , konsument zarabia 0,5 0,5 / godz., $h=24$ i nie ma rzeczywistej dywidendy, a podatek wynosi $T=11$ . odnaleźć:

za. Maksymalna ilość czasu wolnego, jaki dom może mieć i nadal płacić podatki
b. znajdź optymalny pakiet konsumpcji i wypoczynku.

W etapie (a), to trwało pochodną $U$ w odniesieniu do $L$ oraz ustawić ją do 0 ° C, dając mi $l^{0.5}=0$ i $l=0$ . Czy ta część jest poprawna? Intuicyjnie wydaje mi się to bardzo złe.

Utknąłem również na części (b). I trwało pochodną narzędzia względem $C$ . Z moim zrozumienia MRS pochodna $U$ w odniesieniu do $L$ na pochodnej $U$ względem $C$ . W końcu dostałem $1/(L^{0.5})$ .

Wiem optymalny pakiet jest, gdy linia budżetowa jest styczna do krzywej obojętności i wiem też, że nachylenie linii budżetowej byłaby $-W$ . Jednak gdy rozwiążę dla $1/(L^{0.5})=0.5$ , w końcu otrzymuję $L=4$ i $C=-1$ . Nie ma dla mnie sensu, aby konsument mógł mieć ujemną konsumpcję.

Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś mógł wskazać, gdzie popełniłem błąd!

Z funkcji użyteczności wydaje się, że L jest czasem wolnym.

a) Myślę, że poszedłeś a) w niewłaściwy sposób. Po prostu chcesz po prostu pracować jak najmniej, ale być w stanie zapłacić 11 podatków. Będziesz więc chciał zarobić dokładnie 11 USD i nie więcej (zarabianie więcej oznacza więcej pracy, którą chcesz zminimalizować). Tak więc przy 0,50 USD za godzinę musisz przepracować 22 godziny. Ponieważ h = 24, maksymalny czas wolny to 24-22 = 2.

b) Jeśli popełnisz błąd w swoim podejściu analitycznym do b) nie uwzględnia ograniczenia budżetowego w twoim problemie (przy przyjmowaniu instrumentów pochodnych), co powinieneś, jak wyjaśniono w analizie graficznej.

W przypadku konsumpcji masz wydatki - dochód: p * c = wynagrodzenie * praca - T (technicznie nierówność, ale w tym przypadku można założyć, że utrzymuje się na równi). Sugerowałbym użycie langrangian z tym ograniczeniem. Masz również ograniczenie, że czas wolny = 24-poród. Można to podłączyć bezpośrednio i jest wskazane, aby twój problem miał tylko dwie niewiadome (c i poród). Rozwiązanie tego problemu powinno teraz załatwić sprawę.

Pierwsze pytanie nie ma nic wspólnego z optymalizacją narzędzia, a więc z funkcją narzędzia. To po prostu określa granicę i jest rozwiązaniem nierówności

$$(24-l)\cdot \frac 12 \geq 11$$

$(24-l)$

Zadanie optymalizacji to

$$\max _{c,l}U(c,l)=c+2l^{1/2} \\$$

$$s.t. \;\;c = (24-l)\cdot \frac 12 -11,\;\; c\geq 0,\;\; l \geq 0$$

Ze względu na istnienie podatku ryczałtowego istotne znaczenie mają ograniczenia braku negatywności . Właśnie dlatego PO skończyło się konsumpcją ujemną, ponieważ nie wzięła pod uwagę ograniczeń nieujemności.

Teraz zamiast formalnego leczenia z nieujemnymi mnożnikami Karush-Kuhn-Tucker, pierwsze pytanie jest przydatne. Ponieważ istnieje maksymalna ilość czasu wolnego, w którym to momencie konsument jest w stanie płacić podatki (a więc zerowe zużycie), wynika z tego, że zmienna „czas wolny” nie może przyjąć większej wartości, ponieważ doprowadzi to do ujemnego zużycia .

Następnie można uzasadnić, biorąc częściowe pochodne funkcji użyteczności, i zastanawiać się: „jeśli spadek czasu wolnego nieco spadnie poniżej jego maksymalnego dopuszczalnego poziomu, co stracę pod względem użyteczności z utraconej rozrywki i co zyskam pod względem użyteczności pod względem uzyskanej konsumpcji? ” Pomoże również rozważyć dwie skrajności: jaka jest użyteczność, gdy czas wolny jest maksymalny, a zużycie wynosi zero? Jaka jest użyteczność, gdy czas wolny wynosi zero, a zużycie jest maksymalne? Nie zapomnij najpierw wpłacić (bardzo ciężkich) podatków.