Założenie normalności logarytmicznej w wycenie aktywów na podstawie zużycia

Rozważ bardzo podstawowy problem maksymalizacji konsumenta w dyskretnym reprezentatywnym czasie za pomocą narzędzia CRRA. Istnieje ryzykowny składnik aktywów o czasie cena który płaci czas dywidenda , oraz element aktywów bez ryzyka o cenie który płaci stałą wypłatę 1 w . Zakładamy, że dywidendy są sekwencją losowych zmiennych, które następują po procesie Markowa. Załóżmy ponadto, że konsument nie ma innych źródeł dochodów (tj. ). W chwili t konsument inwestuje kwotę w ryzykowny składnik aktywów i kwotę w składnik bez ryzyka. Dlatego problem maksymalizacji można określić jako$t$$p_t$$t+1$$d_{t+1}$$p_t^f$$t+1$$y_t = 0 \ \forall t$$\pi_t$$\pi_t^0$

$$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$$

Powiedzmy, że chcemy znaleźć równowagę stopy bez ryzyka i oczekiwaną premię kapitałową. W celu zamknięcia modelu często zakłada się (patrz np. Książka Teorii wyceny aktywów finansowych Clausa Munka, rozdział 8.3), że wzrost konsumpcji dzienników i ryzykowne zwroty brutto są zwykle rozkładane wspólnie. To znaczy

$$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$$

gdzie zwroty brutto są zdefiniowane jako

$$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$$

To, czego nie do końca rozumiem, to skąd biorą się założenia „log-normal” dystrybucji. Wiem, że ponieważ jest to reprezentatywna gospodarka agenta, konsumpcja agenta musi być równa skumulowanej dywidendie w gospodarce. Ponieważ jednak założyliśmy, że nie ma dochodu, , jedynym egzogenicznym procesem dywidendy w gospodarce jest i dlatego powinien on mieć taki sam rozkład jak wzrost konsumpcji. Mam jednak wrażenie, że kiedy mówimy, że ryzykowna stopa ma logarytmiczny rozkład normalny, oznacza to w rzeczywistości proces dywidendy, ponieważ jest to „część losowa” w definicji zwrotów (cena p_ {t + 1}$y_t = 0 \ \forall t$$d_t$$p_{t+1}$nie jest egzogeniczny, ale określony w modelu). Wydaje mi się teraz, że przyjęliśmy dwa różne założenia dotyczące tego samego procesu . Skąd bierze się założenie dotyczące konsumpcji lub co to oznacza? Jak zmieniłaby się sytuacja, gdyby konsument miał jakiś strumień dochodów ?$d_t$$y_t > 0$

Typowym dwumiesięcznym Lagrangian jest

$$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$$

Warunki pierwszego rzędu w odniesieniu do to$c_t, \pi_t$

$$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$$

$$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$$

i wykorzystując również definicję zwrotu brutto,

$$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$$

Łącząc i otrzymujemy$(1)$$(3)$

$$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$$

Widzimy więc, że na optymalnej ścieżce wzrost konsumpcji jest bezpośrednią funkcją afiniczną zwrotów ryzyka logarytmicznego. Oznacza to między innymi, że ich współczynnik korelacji jest równy jedności.

Rozkład normalny jest zamykany w wyniku przekształceń afinicznych (alternatywnie w ramach skalowania i przesunięcia), więc jeśli założymy, że ryzykowne zwroty logarytmiczne są normalnie rozkładane, to wzrost konsumpcji jest również normalnie rozkładany (z inną średnią i wariancją oczywiście).

Należy zauważyć, że chociaż ogólnie założenie o normalnej wspólnej jest dodatkową, którą należy przyjąć, gdy dwie normalne zmienne losowe nie są niezależne, tutaj fakt, że jedna jest funkcją afiniczną drugiej, gwarantuje wspólną normalność. Zgodnie z warunkiem Cramera dla normalności dwuwymiarowej musi być tak, że wszystkie kombinacje liniowe dwóch normalnych zmiennych losowych mają rozkład normalny jednowymiarowy. W naszym przypadku mamy (zapis ogólny) losową zmienną i zmienną losową . Rozważać$Y$$X = a+bY$

$$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$$

Tak więc dla każdego (z wyjątkiem wektora zerowego, który jest wykluczony a priori), ma rozkład normalny, jeśli tak. Wystarczy więc założyć, że zwroty ryzyka logarytmicznego są zgodne z rozkładem normalnym, aby uzyskać wspólną normalność.$(\delta_1, \delta_2)$$\delta_1X + \delta_2 Y$$Y$

Niedawno opracowałem artykuł wyprowadzający rozkład zwrotów dla wszystkich klas aktywów i pasywów. Zwrot log-normal pojawia się tylko w dwóch przypadkach. Pierwszy dotyczy obligacji dyskontowych na jeden okres, drugi dotyczy połączeń gotówkowych z akcjami. Wynika to z założenia, jak sądzę, początkowo Boness, aby wyeliminować problem nieskończenie ujemnych cen w Markowitz. Chociaż został wyprowadzony logicznie, ma krytyczne założenie, które sprawia, że ​​jest on ogólnie nieprawdziwy.

Większość modeli finansowych zakłada, że ​​parametry są znane z prawdopodobieństwem jeden. Nie musisz szacować pomocą ponieważ zakłada się, że jest znany. Z pozoru nie stanowi to problemu, ponieważ jest to ogólna metodologia metod opartych na hipotezie zerowej. Twierdzisz, że wartość null jest prawdą, a zatem parametry są znane i przeprowadzany jest test na tym wartości null.$\mu$$\bar{x}$

Trudność występuje, gdy parametry nie są znane. Okazuje się, że dowód załamuje się bez tego założenia. To samo dotyczy Black-Scholesa. Prezentuję artykuł na konferencji SWFA tej wiosny, w której twierdzę, że jeśli założenia formuły Blacka-Scholesa są dosłownie prawdziwe, to nie może istnieć estymator, który byłby zbieżny z parametrem populacji. Każdy po prostu założył, że wzór przy doskonałej wiedzy był równy estymatorze parametrów. Nikt nigdy tak naprawdę nie sprawdził jego właściwości. W swoim wstępnym artykule Black i Scholes przetestowali empirycznie swoją formułę i stwierdzili, że nie działa. Po odrzuceniu założenia, że ​​parametry są znane, matematyka wychodzi inaczej. Na tyle różne, że nie można myśleć o tym w ten sam sposób.

Rozważmy przypadek papierów wartościowych zabezpieczonych na giełdzie NYSE. Jest sprzedawany na podwójnej aukcji, więc klątwa zwycięzcy nie zostaje uzyskana. Z tego powodu racjonalnym zachowaniem jest utworzenie zlecenia z limitem, którego cena jest równa . Jest wielu kupujących i sprzedających, więc książka limitów powinna być statycznie normalna, a przynajmniej stanie się tak, gdy liczba kupujących i sprzedających zbliży się do nieskończoności. Zatem jest statycznie normalny w odniesieniu do , ceny równowagi.$\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$$p_t$$p_t^*$

Oczywiście zignorowaliśmy rozkład . Jeśli zignorujesz podziały i dywidendy z akcji, to albo będzie istnieć, albo nie będzie. Musisz więc stworzyć rozkład mieszanki dla zwrotów zapasów, zwrotów gotówki i bankructwa. Dla uproszczenia zignorujemy te przypadki, chociaż wyklucza to możliwość rozwiązania modelu wyceny opcji.$(q_t,q_{t+1})$

Jeśli więc ograniczymy się do i przejmiemy wszystkie dywidendy, wówczas nasze zwroty będą stanowić stosunek dwóch normalnych do równowagi. Wykluczam dywidendy, ponieważ powodują bałagan i wykluczam przypadki takie jak kryzys finansowy w 2008 r., Ponieważ otrzymujesz dziwny wynik, który pochłania strona po stronie tekstu.$r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

Teraz uprość nasze wyprowadzanie, jeśli przetłumaczymy nasze dane z na i zdefiniujemy możemy łatwo zobaczyć rozkład. Przy braku ograniczenia zobowiązań lub międzyokresowego ograniczenia budżetowego, zgodnie ze znanym twierdzeniem, gęstość zwrotów musi być rozkładem Cauchy'ego, który nie ma ani średniej, ani wariancji. Kiedy tłumaczysz wszystko z powrotem na przestrzeń cenową, gęstość staje się$(p_t^*,p_{t+1}^*)$$(0,0)$$\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

$$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$$

Ponieważ nie ma sensu, nie możesz przyjmować oczekiwań, wykonywać testu F lub testu F, używać dowolnej formy najmniejszych kwadratów. Oczywiście byłoby inaczej, gdyby był to antyk.

Jeśli byłby to antyk na aukcji, klątwa zwycięzcy byłaby możliwa. Licytujący wygrywa licytację, a ograniczającą gęstość wysokich ofert jest rozkład Gumbela. Rozwiązałbyś ten sam problem, ale jako stosunek dwóch rozkładów Gumbela zamiast dwóch rozkładów normalnych.

Problem nie jest tak prosty. Ograniczenie odpowiedzialności obciąża wszystkie leżące u podstaw wypłaty. Międzyokresowe ograniczenie budżetowe wypacza wszystkie podstawowe dystrybucje. Istnieje inna dystrybucja dywidend, fuzja gotówkowa, fuzja akcji lub nieruchomości, bankructwo i skrócona dystrybucja Cauchyego dla kontynuacji działalności, jak wyżej. Istnieje sześć rodzajów wypłat dla kapitałowych papierów wartościowych w połączeniu.

Różne rynki z różnymi regułami i różnymi stanami egzystencjalnymi tworzą różne rozkłady. Zabytkowy wazon ma obudowę, w której jest upuszczany i rozpada się. Ma również przypadek zużycia lub innej zmiany wewnętrznej jakości. Wreszcie ma również przypadek, że jeśli zniszczy się wystarczającą liczbę podobnych waz, porusza się środek lokacji.

Wreszcie, ze względu na obcięcie i brak wystarczającej statystyki dla parametrów, nie istnieje obliczalny i dopuszczalny estymator niebazowski.

Możesz znaleźć pochodne stosunku dwóch normalnych zmiennych i wyjaśnienie na http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Możesz również znaleźć pierwszy artykuł na ten temat pod adresem

Curtiss, JH (1941) O rozkładzie ilorazu dwóch zmiennych szans. Annals of Mathematical Statistics, 12, 409-421.

Istnieje również dokument uzupełniający pod adresem

Gurland, J. (1948) Inversion Formulas for the Distribution of Ratio. The Annals of Mathematical Statistics, 19, 228-237

Dla autoregresyjnej formy dla metod Likelihoodist i Frequentist w

White, JS (1958) The Limiting Distribution of Serial Correlation Coefficient in the Explosive Case. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197,

i jego uogólnienie przez Rao w

Rao, MM (1961) Spójność i rozkłady graniczne estymatorów parametrów w wybuchowych równaniach różnicy stochastycznej. The Annals of Mathematical Statistics, 32, 195-218

Mój artykuł zawiera te cztery i inne artykuły, takie jak artykuł Koopmana i artykuł Jaynesa, aby skonstruować rozkłady, jeśli prawdziwe parametry są nieznane. Zauważa, że ​​powyższa biała księga ma interpretację bayesowską i zezwala na rozwiązanie bayesowskie, chociaż nie istnieje żadne rozwiązanie nie bayesowskie.

Zauważ, że ma skończoną średnią i wariancję, ale nie ma struktury kowariancji. Rozkład jest rozkładem hiperbolicznym. Jest to również dobrze znany wynik statystyczny. Tak naprawdę nie może to być hiperboliczna dystrybucja sieczna z powodu ubocznych przypadków, takich jak upadłość, fuzje i dywidendy. Przypadki egzystencjalne są addytywne, ale dziennik implikuje błędy multiplikatywne.$\log(R)$

Artykuł na temat hiperbolicznej dystrybucji siecznych można znaleźć na stronie

Ding, P. (2014) Trzy przypadki dystrybucji hiperbolicznej-siecznej. The American Statistician, 68, 32-35

Mój artykuł jest na

Harris, D. (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804

Zanim przeczytasz moje, powinieneś najpierw przeczytać powyższe cztery artykuły. Nie zaszkodzi również czytanie książki ET Jaynesa. Jest to niestety praca polemiczna, ale mimo to rygorystyczna. Jego książka to:

Jaynes, ET (2003) Prawdopodobieństwo: język nauki. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207