Niehomotyczne preferencje CES: wyprowadzanie popytu

Walczę trochę z wyprowadzeniem popytu na towary i indeksem cen, kiedy preferencje są CES, a nie homotetyczne. Optymalizuję alokację agregatora Dixit-Stiglitza, więc program zapisuje

max \underset{= C, total consumption}{\underset{⏟}{[γ_{x}^{1 / ϵ} (x - \bar{x})^{\frac{ϵ - 1}{ϵ}} + γ_{y}^{1 / ϵ} (y - \bar{y})^{\frac{ϵ - 1}{ϵ}}]^{\frac{ϵ}{ϵ - 1}}}} + μ [W - x - y p]

$\begin{equation} \max \underbrace{[\gamma_x^{1/\epsilon}(x-\bar{x})^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} + \gamma_y^{1/\epsilon}(y-\bar{y})^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon}{\epsilon - 1}}}_{\text{= C, total consumption}} + \mu[W-x -yp] \end{equation}$

Gdzie i są ilości dwóch towarów a kilka poziomów, które sprawiają, że preferencje nie homothetic, jest Lagrange'a mnożnik $x$ $y$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $\mu$ względna Cena i poziom wydatków. Czy w tym przypadku można uzyskać system popytu obejmujący całkowity poziom zużycia i indeks cen, który zwykle pojawia się podczas korzystania z CES? Przypadek z homotetycznym CES byłby z $p$ $y$ $W$ $C$

y = γ_{y} (p / P)^{- θ} C

$y=\gamma_y(p/P)^{-\theta}C$

P

$P$ będący indeksem cen uzyskanym przez zwykłe lewy z ustawieniem Dixit-Stiglitz.

macroeconomics preferences Ceschi
źródło

Czy rozważałeś przyjrzenie się pierwotnemu problemowi homotetycznemu i przesunięcie całego układu współrzędnych

, w tym funkcji użyteczności, ograniczenia budżetowego o

(x, y)

$(x,y)$

(\bar{x}, \bar{y})

$(\bar{x},\bar{y})$

Giskard

Wydaje się miłą wskazówką, ale nie mogę zrozumieć szczegółów, byłbym bardzo wdzięczny, gdybyś mógł rozwinąć wskazówkę!

Ceschi

To nie jest wskazówka, ale tylko pomysł. Nie próbowałem wykonywać żadnych obliczeń przy użyciu tego. Czego dokładnie nie możesz się dowiedzieć? Czy wiesz, jak wykonać zmianę?

Giskard

x - \bar{x}

$x-\bar{x}$

\tilde{x}

$\tilde{x}$