Dlaczego aliasing szumu szerokopasmowego nie „zbiera się” w paśmie próbkowania?

Niedawno zbudowałem symulację do badania próbkowania, wpływu aliasingu i efektów filtrów antyaliasingowych na próbkowany sygnał.

Dla częstotliwości podstawowych powyżej pasma próbkowania oczywiste jest, że w próbkowanym sygnale widać „oszustów”. Używając filtra antyaliasingu mogę wyeliminować oszustów.

Ale jeśli raczej narzucę sygnał próbkujący szum szerokopasmowy (właściwie biały szum), nie ma znaczenia, czy filtr antyaliasingu jest obecny, czy nie. Hałas między szczytami jest taki sam w obu przypadkach. Oczywiście zmieniła się szerokość pasma hałasu.

Ale ponadto spodziewałbym się, że (oszust) aliasowany szum szerokopasmowy poza pasmem próbkowania zostanie nałożony na szum szerokopasmowy, który jest autentycznie przekazywany w paśmie próbkowym, w ten sposób „gromadząc się” z większym poziomem szczytowym do szczytowego.

Dlaczego tak się nie dzieje?

Powinienem wspomnieć, że mój krok czasowy symulacji jest w MHz, a mój badany system w zakresie 1 kHz. Tak więc system jest praktycznie w ciągłym świecie.

Masz rację: po próbkowaniu, składowe aliasu szumu gromadzą się w paśmie częstotliwości poniżej częstotliwości Nyquista. Pytanie tylko o to, co dokładnie się gromadzi i jakie są tego konsekwencje.

W dalszej części zakładam, że mamy do czynienia z przypadkowym szumem zamodelowanym jako szeroko zakrojony stacjonarny proces losowy (WSS), tj. Proces losowy, dla którego możemy zdefiniować widmo mocy. Jeśli jest procesem, hałas i R K = N ( k , T ) jest próbkowane proces szum (z próbki okresu T ), to widmo mocy R k jest wygładzane wersja widma mocy N ( t ) :$N(t)$$R_k= N(kT)$$T$$R_k$$N(t)$

gdzie to częstotliwość próbkowania. Oczywiście, jeśli N ( t ) jest ograniczone pasmem (co zawsze ma miejsce), wówczas tylko skończona liczba przesuniętych widm mocy N ( t ) sumuje się w interesującym paśmie [ 0 , f s / 2 ] .$f_s=1/T$$N(t)$$N(t)$$[0,f_s/2]$

Moc szumu jest podawana przez całkę odpowiedniego widma mocy. W przypadku musimy całkować na całej szerokości pasma N ( t ) , podczas gdy w przypadku próbkowanego szumu R k musimy całkować w paśmie [ 0 , f s / 2 ] . Z (1) staje się jasne, że w obu przypadkach uzyskujemy tę samą moc, ponieważ albo integrujemy pierwotne widmo mocy S N ( f ) , albo integrujemy wersję aliasową (tj. Piętrzą się) w paśmie [ 0 $N(t)$$N(t)$$R_k$$[0,f_s/2]$$S_N(f)$ .$[0,f_s/2]$

W związku z tym moc szumów nie zmienia się po próbkowaniu, niezależnie od częstotliwości próbkowania. Próbkowany hałas ma taką samą moc jak oryginalny hałas w czasie ciągłym.

Tak więc moc próbkowanego szumu zmienia się tylko wtedy, gdy zmienisz moc szumu w czasie ciągłym, a można to zrobić przez filtr antyaliasingowy, ponieważ filtr zmniejsza szerokość pasma szumu, a w konsekwencji moc szumu. Zauważ, że samo patrzenie na wartość szczytową nie mówi wiele, ponieważ musisz wziąć pod uwagę moc.

EA Lee, DG Messerschmitt: Komunikacja cyfrowa , wydanie 2, sekcja 3.2.5 (str. 64)

Energia reprezentowana przez próbkowany sygnał jest powiązana tylko z PDF (funkcja gęstości prawdopodobieństwa) sygnału wejściowego i częstotliwości próbki. Rzeczywista szerokość pasma sygnału wejściowego nie ma na to wpływu.

Innymi słowy, gdy nie próbkujesz sygnału szerokopasmowego, otrzymujesz zestaw próbek, które mają taki sam PDF jak oryginalny sygnał szerokopasmowy, ale te próbki mają tylko efektywną szerokość pasma Fs / 2. „Nadwyżka” energii poza tym pasmem po prostu nigdy nie została uchwycona przez proces próbkowania.

Jeśli podwoisz częstotliwość próbkowania, „złapiesz” dwa razy więcej energii.