Dlaczego całka wynosi zero

Zastanawiam się, dlaczego przy założeniu, że $\omega \gg \frac{1}{T}$ następnie $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$?

Ponieważ całka powinna być jak $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ od $0$ do $T$ a po podłączeniu wartościowego otrzymamy:

Jeśli mówisz o telekomunikacji, zakładam, że mówimy o wysokich częstotliwościach. Jeśli tak jest:

• $\frac{1}{T} = f$
• $\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ waha się od $0$ do $+2$, jeśli podzielisz to przez dużą liczbę, otrzymasz w przybliżeniu zero.
Aby dać ci pomysł: na częstotliwość wokół$1\;\text{kHz}$(co jest uważane za „ultra low” ), wynik będzie AT MAKSYMALNY$0.002$.

Zwiększając częstotliwość, wydłużamy okresy oscylacji w interwale całkowania.

Ponieważ całka sinusoidy w jednym okresie wynosi zero, powinniśmy brać pod uwagę „niepełny” okres na końcu przedziału całkowania.

Kiedy zwiększamy częstotliwość, obszar tego niepełnego okresu staje się coraz cieńszy (wyjaśniając $\omega$ w wyznaczniku).

Po podłączeniu niektórych wartości otrzymam następujące informacje:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ wynik

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Teraz nie jestem pewien, który rząd wielkości $>>$ oznacza i jak mały wynik należy wziąć pod uwagę $\approx 0$, ale ma tendencję do zerowania, jeśli jest znacznie większy.

Jakie są typowe wartości $\omega$ a ty patrzysz?

Aktualizacja (z powodu komentarzy):

Jak FMarazzi wyjaśnił całkiem dobrze, istnieje górna granica dla tej sprawy $\cos(\omega T)$ wynosi -1, więc będziesz mieć $\frac{2}{\omega}$, co jest absolutnym maksimum, jakie kiedykolwiek otrzymasz za dowolny T.

Więc jeśli wybierzesz wartość dla T, w taki sposób uzyskasz maksimum dla danej $\omega$ stół zamienia się w:

$\omega \rightarrow$ maksymalna możliwa wartość

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

I tak dalej. Nie wiem, w jakim kontekście stosuje się aproksymację, ale jak wskazano w komentarzach, dotyczy to systemów komunikacyjnych i domyślam się, że nie chodzi tu o jakiś UART przy 9600 bodów, ale coś w rodzaju Ethernetu lub szybszych rzeczy, więc$\omega$ jest w kolejności $10^7$ or higher, for which the result of the integral gets small and probably doesn't contribute to the other terms of interest.

In the equation as written a larger $\omega$ will result on average in a smaller value of the integral but a larger $T$ will not.

I suspect more context is needed to properly understand what is meant.

In particular we need to think about what exactly we mean by "$\approx 0$". "$\approx 0$" should probablly be intepreted as "negligable" but what "negligable" means is highly dependent on context. If there is some related value that increases with increasing values of $T$ then it may be that the result of the integral when large $T$ is large but $\omega$ is small can still be considered negligable.