Dlaczego całka wynosi zero

9

Zastanawiam się, dlaczego przy założeniu, że ω1T. następnie 0T.grzech(ωt)ret0?

Ponieważ całka powinna być jak sałata(ωt)w od 0 do T. a po podłączeniu wartościowego otrzymamy:

-sałata(ωT.)+1ω
użytkownik59419
źródło
9
Głosuję za zamknięciem tego pytania jako nie na temat, ponieważ nie dotyczy ono elektroniki i jest pytaniem czysto matematycznym, a zatem powinno należeć do math.stackexchange.com
efox29
4
Absolutnie nie. Oszacowanie to jest stosowane we wszystkich systemach komunikacyjnych i nie jest czystym pytaniem matematycznym, ponieważ pod względem matematycznym tylko ta całka nie zawsze jest zerowa
59419
Czy masz na myśli 1T...?
Chu,
Nie, nie ma 1T. Gdyby1Tjest obecny, ma sens i widziałem go w różnych miejscach.
user59419,

Odpowiedzi:

6

Jeśli mówisz o telekomunikacji, zakładam, że mówimy o wysokich częstotliwościach. Jeśli tak jest:

  • 1T=f
  • ω1T

cos(ωT)+1 waha się od 0 do +2, jeśli podzielisz to przez dużą liczbę, otrzymasz w przybliżeniu zero.
Aby dać ci pomysł: na częstotliwość wokół1kHz(co jest uważane za „ultra low” ), wynik będzie AT MAKSYMALNY0.002.

FMarazzi
źródło
3
Znacznie lepsze wytłumaczenie niż moje brutalne podejście.
Arsenał
1
Nie sądzę, że jest to pełna odpowiedź: jest to możliwe nawet dla małych wartości ω zaspokoić ω1T, gdyby Tjest wystarczająco duży.
Ilmari Karonen,
1
@IlmariKaronen T nigdy nie jest wystarczająco duży w telekomunikacji.
FMarazzi,
4

Zwiększając częstotliwość, wydłużamy okresy oscylacji w interwale całkowania.

Ponieważ całka sinusoidy w jednym okresie wynosi zero, powinniśmy brać pod uwagę „niepełny” okres na końcu przedziału całkowania.

Kiedy zwiększamy częstotliwość, obszar tego niepełnego okresu staje się coraz cieńszy (wyjaśniając ω w wyznaczniku).

walljam7
źródło
3

Po podłączeniu niektórych wartości otrzymam następujące informacje:

T=1

ω wynik

1000.460

1010.184

1020.001

1034.376E04

1041.952E04

1051.999E05

1066.325E08

Teraz nie jestem pewien, który rząd wielkości >> oznacza i jak mały wynik należy wziąć pod uwagę 0, ale ma tendencję do zerowania, jeśli jest znacznie większy.

Jakie są typowe wartości ω a ty patrzysz?


Aktualizacja (z powodu komentarzy):

Jak FMarazzi wyjaśnił całkiem dobrze, istnieje górna granica dla tej sprawy cos(ωT) wynosi -1, więc będziesz mieć 2ω, co jest absolutnym maksimum, jakie kiedykolwiek otrzymasz za dowolny T.

Więc jeśli wybierzesz wartość dla T, w taki sposób uzyskasz maksimum dla danej ω stół zamienia się w:

ω maksymalna możliwa wartość

1002

1010.2

1020.02

1032E03

1042E04

1052E05

1062E06

I tak dalej. Nie wiem, w jakim kontekście stosuje się aproksymację, ale jak wskazano w komentarzach, dotyczy to systemów komunikacyjnych i domyślam się, że nie chodzi tu o jakiś UART przy 9600 bodów, ale coś w rodzaju Ethernetu lub szybszych rzeczy, więcω jest w kolejności 107 or higher, for which the result of the integral gets small and probably doesn't contribute to the other terms of interest.

Arsenal
źródło
Thanks. Your question definitely makes sense and that's exactly my problem because range of T and w is not given and only condition that wT>>1 is mentioned. I was thinking what if T=1000 and w=1 then the integral is not zero.
user59419
If T is arbitrary, the area under sin(wt) will, generally, be non-zero. There must be another constraint.
Chu
@Chu I'm not saying that it will be 0, it just tends to be very close to 0, so close that for practical purposes it can be neglected (this is a common simplification to make things solvable for humans). FMarazzi has actually given a better analysis of the upper bound of the result.
Arsenal
1
@Arsenal, but you've assumed a value for T. There is no such specification in the original question - both w and T are free to wander. So the integral could be a long way from zero
Chu
@Chu yeah that was a bit short-sighted in hindsight. I've updated my answer to make the point clear. It cannot be a long way from zero for higher omegas.
Arsenal
0

In the equation as written a larger ω will result on average in a smaller value of the integral but a larger T will not.

I suspect more context is needed to properly understand what is meant.

In particular we need to think about what exactly we mean by "0". "0" should probablly be intepreted as "negligable" but what "negligable" means is highly dependent on context. If there is some related value that increases with increasing values of T then it may be that the result of the integral when large T is large but ω is small can still be considered negligable.

Peter Green
źródło