Dlaczego przy obliczaniu średniej mocy stosuje się pierwiastek średni kwadratowy, a nie tylko średnią napięcie / prąd?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ gdzie$I_{\text{eff}}$ jest prądem efektywnym. Aby moc była średniamuszę być prądem średnim, więc przypuszczam, że prądem efektywnym jest prąd średni.$I$

W takim razie dlaczego nie po prostu$I_{\text{eff}}$

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

Zamiast tego jest zdefiniowane następująco:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Zatem użycie tych dwóch wyrażeń do obliczenia daje różne odpowiedzi.$P$

Dlaczego tak jest? Dla mnie to bez sensu. Mogę tylko zgadywać, że źle interpretuję prąd efektywny to prąd średni. Jeśli tak nie jest, nie widzę jednak, jak może być średnią mocą, gdy nie jest średnim prądem.I $P$$I_{\text{eff}}$

Weź prosty przykład, w którym sumy są banalne. Mam napięcie, które jest w 50% przypadków i wyłączone w 50% przypadków. Gdy jest włączony, wynosi 10 V. Średnie napięcie wynosi zatem 5 V. Jeśli podłączę do niego rezystor o wartości 1 oma, rozproszy on 100 W, gdy jest włączony, i 0 W, gdy jest wyłączony. Średnia moc wynosi zatem 50 W.

Teraz pozostaw napięcie włączone przez cały czas, ale zrób to 5 V. Średnie napięcie wynosi nadal 5 V, ale średnia moc to tylko 25 W. Ups

Albo załóżmy, że mam napięcie tylko przez 10% czasu, ale jest to 50 V. Średnie napięcie wynosi ponownie 5 V, ale moc wynosi 2500 W przy włączeniu i 0 W przy wyłączeniu, więc średnio 250 W.

---

W rzeczywistości, aby obliczyć moc ogólnie , należy zintegrować (napięcie chwilowe) * (prąd chwilowy) w pewnym okresie fali, aby uzyskać średnią (lub od 0 do pewnego czasu t jak w twoim przykładzie, aby znaleźć moc w pewnym przedziale) .

Jeśli (i jest to duże, jeśli) obciążenie jest stałym rezystorem R , można powiedzieć, że v = i * R, więc moc chwilowa wynosi i ^ 2 * R, a więc można zintegrować i ^ 2 w tym okresie, aby uzyskać „ RMS current ”i pomnóż przez R później (ponieważ jest to ustalone, nie wchodzi w całkę).

---

Prąd RMS nie jest szczególnie użyteczny, jeśli obciążenie jest czymś nieliniowym, jak dioda. Może być przydatny w analizie strat w czymś takim jak kondensator z danym ESR. Straty (i wynikający z nich efekt grzewczy, który skraca żywotność kondensatora) będą proporcjonalne do prądu RMS, a nie do średniej.

Aby moc była średnia, muszę być średnim prądem, więc przypuszczam, że skuteczny prąd to prąd średni.

Krótko mówiąc, średnie napięcie x średni prąd równa jest średniej mocy tylko wtedy, gdy napięcie i prąd są wielkościami DC. Pomyśl o następującym przykładzie:

Jeśli przyłożysz 230 V AC z gniazdka do elementu grzejnego, nagrzeje się, a nawet gorąco. Potrzeba energii, za którą możesz zapłacić. 230 V AC to fala sinusoidalna, a wszystkie fale sinusoidalne mają średnią wartość zero. Powstały prąd przepływający przez element grzejny jest również falą sinusoidalną o średniej wartości zero.

Zatem użycie średniego napięcia x średniego prądu wytwarza zerową średnią moc i jest to oczywiście błędne. To napięcie RMS x prąd RMS da sensowną odpowiedź (niezależnie od tego, czy jest to prąd stały, czy prąd przemienny).

Musisz wrócić do podstaw i zadać sobie pytanie, jaka jest moc - jest to napięcie x prąd i są to wartości chwilowe pomnożone razem. Powoduje to przebieg fali podobny do tego:

Z powodu aktu zwielokrotnienia kształt fali mocy ma teraz średnią wartość niezerową . Idąc o krok dalej, jeśli rezystor obciążenia miałby 1 om, wówczas amplituda prądu będzie równa amplitudzie przyłożonego napięcia, więc moc stanie się średnią .$v^2$

To prowadzi nas do stwierdzenia, że ​​moc jest the mean of the square of voltage(lub prądem), a biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie wybraliśmy 1 om, możemy również powiedzieć, że napięcie efektywne, które wytwarza tę moc, jest square root of the mean of the voltage squaredwartością „RMS”.

$v_{pk}$$v^2_{pk}$

$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

W efekcie wartość skuteczna napięcia (lub prądu) prądu przemiennego jest równa wartości napięcia (lub prądu) prądu stałego, która powoduje taki sam efekt ogrzewania przy obciążeniu rezystancyjnym.

Więc nie, średnie napięcie lub średni prąd nie mają znaczenia, ale średnia moc jest najważniejsza.

Diabeł tkwi w szczegółach, kiedy ćwiczysz matematykę.

$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$

$\frac{1}{T}$

Podsumowując, dzieje się tak, ponieważ matematyka nie działa w ten sposób.

Średnia moc jest tylko całką pracy, w pewnym skończonym okresie czasu, podzielonym przez ten okres czasu. W twoim przypadku każda chwila pracy to:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Tak więc, integrujesz to, aby uzyskać całkowitą pracę przez pewien skończony okres, a następnie, aby przekształcić ją w średnią wartość mocy, po prostu dzielisz ją przez skończony okres. Lub:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R_t$

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R\cdot I_{eff}^2$

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

To tylko równoważna zamiana, prawda?

A potem oczywiście:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

$t_0=0$$t_1=t$

Wyobraź sobie, że dwa prądy przepływają jednocześnie przez twoje obciążenie:

• Prąd stały 1A
• Prąd AC o amplitudzie 1A

Całkowity prąd będzie wyglądał mniej więcej tak:

Teraz, jeśli zastosujemy twoją formułę $I_{eff}$otrzymamy 1A, tak jakby składnik AC wytwarzał zerową moc. Mam nadzieję, że zgadzasz się, że ma to jeszcze mniej sensu niż oryginalna formuła.

Rozważać $R=1\Omega$oraz prąd 1A przez jedną sekundę i 10A przez drugą sekundę. Jaka jest średnia moc?

Oczywiście, że tak

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Załóżmy przepisać następująco:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

Z drugiej strony, średni prąd jest 5.5a, co daje „przeciętną moc” 30.25W.

Chodzi o to, że wzór zasilania zawiera kwadratu prądu, to skuteczna prądu jest większa niż tylko średnia (wartość bezwzględna) prądu.

Ujmę to bardziej ogólnie: moc chwilowa P (t) rozproszona nad obciążeniem jest iloczynem (w sensie matematycznym jako mnożenie) V (t) i I (t). Lub I (t) * I (t) / R w tym zakresie. Średnia moc jest zatem średnią [I (t) * I (t)] / R. Paradoks tkwi w znanym twierdzeniu matematycznym, że średnia iloczynu funkcji zmiennych nie jest równa iloczynowi ich średnich ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

równoważnie

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Aby zilustrować ten podstawowy problem rachunku różniczkowego do ekstremalnego, załóżmy, że masz obciążenie rezystorem 1 Ohm, a napięcie pulsuje jako 10 V dla 10% cyklu pracy, 10% w górę, 90% bez napięcia. Rzeczywista rozproszona moc wynosi 10 V * 10 A = 100 W przez 10% cyklu roboczego i zero dla pozostałej części cyklu roboczego. Więc średnia moc rozpraszana przez ten rezystor jest 10W .

Teraz, jeśli weźmiesz (a nawet zmierzysz!) Wartości średnie oddzielnie za pomocą oddzielnych mierników, średnia [V] tego impulsu będzie wynosić 1 V, a średnia I wyniesie 1A. Po pomnożeniu zmierzonych wyników można dojść do wniosku, że moc pobierana przez to „urządzenie” wynosi tylko 1 W, co będzie całkowicie błędne 10-krotnie !!!

Jest to typowy błąd w wielu dyscyplinach i zastosowaniach. Na przykład ten błąd jest podstawą wielu fałszywych twierdzeń niektórych magicznych podgrzewaczy wody, które wytwarzają więcej mocy niż „zużyta energia elektryczna” zwykle wyjaśniona przez „topienie na zimno” lub inne BS. Udzielono nawet patentów na te „pulsacyjne grzejniki”.