Czym dokładnie są harmoniczne i jak się „pojawiają”?

Po przeczytaniu tak wielu źródeł online nadal nie mogę zrozumieć, dlaczego różne przebiegi mają harmoniczne.

Na przykład: w jaki sposób generowane są harmoniczne przy projektowaniu obwodu głupiej modulacji amplitudy (AM), który wprowadza falę kwadratową z mikrokontrolera do anteny? Sygnał jest po prostu „włączony” lub „wyłączony”, w jaki sposób występują pierwsze, trzecie i piąte harmoniczne i dlaczego słabną?

Słyszałem, że oscyloskopy, które są w stanie zmierzyć do piątej harmonicznej fali kwadratowej (lub czegoś podobnego), są ważne, ale dlaczego miałoby to różnić odczyt? Czy te harmoniczne są nieistotne w takich rzeczach jak transfer danych (wysoka = 1, niska = 0) i mają znaczenie tylko w sytuacjach takich jak audio lub RF?

Dlaczego fale sinusoidalne nie mają tylu harmonicznych? Ponieważ fala jest zawsze w ruchu, a nie płasko w górę (trójkąt) lub poziomo (kwadrat), ale jest okrągła z ciągle zmieniającą się wartością?

Fale sinusoidalne nie mają harmonicznych, ponieważ są to dokładnie fale sinusoidalne, które razem mogą konstruować inne kształty fal. Fala podstawowa jest sinusoidą, więc nie musisz nic dodawać, aby był to sygnał sinusoidalny.

O oscyloskopie. Wiele sygnałów ma dużą liczbę harmonicznych, niektóre, jak fala prostokątna, w teorii są nieskończone.

Jest to częściowa konstrukcja fali kwadratowej. Podstawowy jest niebieski sinus, który pokazuje 1 okres. Potem jest trzecia harmoniczna (fale kwadratowe nie mają nawet harmonicznych), fioletowa. Jego amplituda stanowi 1/3 podstawy, i widać, że jest trzy razy większa niż częstotliwość podstawy, ponieważ pokazuje 3 okresy. To samo dla piątej harmonicznej (brązowy). Amplituda stanowi 1/5 wartości podstawowej i pokazuje 5 okresów. Dodanie ich daje zieloną krzywą. To jeszcze nie jest dobra fala kwadratowa, ale widać już strome krawędzie, a falista pozioma linia ostatecznie stanie się całkowicie pozioma, jeśli dodamy więcej harmonicznych. W ten sposób zobaczysz falę kwadratową na lunecie, jeśli pokazano tylko do piątej harmonicznej. To naprawdę minimum, dla lepszej rekonstrukcji będziesz potrzebować więcej harmonicznych.

Jak każdy sygnał niesinusoidalny, sygnał modulowany AM wytworzy harmoniczne. Fourier udowodnił, że każdy powtarzający się sygnał może zostać zdekonstruowany na podstawową (tę samą częstotliwość co postać fali) i harmoniczne, których częstotliwości są wielokrotnościami podstawy. Dotyczy to nawet niepowtarzalnych przebiegów. Nawet jeśli nie widzisz, jak by to wyglądało, analiza jest zawsze możliwa.

Jest to podstawowy sygnał AM, a sygnał modulowany jest iloczynem nośnej i sygnału pasma podstawowego. Teraz

$sin(f_C) \cdot sin(f_M) = \dfrac{cos(f_C - f_M) - cos(f_C + f_M)}{2}$

Widać więc, że nawet iloczyn sinusów może być wyrażony jako suma sinusów, to są oba cosinusy (harmoniczne mogą mieć przesunięcie fazowe, w tym przypadku o 90 °). Częstotliwości i to pasma boczne po lewej i prawej stronie częstotliwości nośnej .( f C + f M ) f $(f_C - f_M)$$(f_C + f_M)$$f_C$

Nawet jeśli sygnał pasma podstawowego jest bardziej złożonym sygnałem, możesz rozdzielić modulowany sygnał osobno.

Odpowiedź Pentium100 jest dość kompletna, ale chciałbym podać znacznie prostsze (choć mniej dokładne) wyjaśnienie.

Powodem tego, że fale sinusoidalne mają (najlepiej) tylko jedną harmoniczną, jest to, że sinus jest „najgładszym” sygnałem okresowym, jaki możesz mieć, a zatem jest „najlepszy” pod względem ciągłości, pochodności i tak dalej. Z tego powodu wygodnie jest wyrażać kształty fal w kategoriach fal sinusoidalnych (możesz to zrobić także z innymi falami, a także z ).$C^{\infty}$

Tylko przykład: dlaczego w wodzie zwykle widzisz zakrzywione fale? (z tego powodu zignoruj ​​wpływ plaży lub wiatru) Ponownie, to dlatego, że jest to kształt, który wymaga mniej energii do utworzenia, ponieważ wszystkie pochylnie i krawędzie są gładkie.

W niektórych przypadkach, takich jak organy Hammonda , fale sinusoidalne są faktycznie używane do komponowania sygnału, ponieważ przy rozkładzie można syntetyzować wiele (praktycznie wszystkich) dźwięków.

Jest piękna animacja LucasVB wyjaśniająca rozkład Fouriera fali kwadratowej:

Te obrazy lepiej wyjaśniają rozkład fali prostokątnej w harmonicznych:

Możesz rozłożyć dowolny przebieg na nieskończoną serię fal sinusoidalnych zsumowanych. Nazywa się to analizą Fouriera (jeśli pierwotny kształt fali się powtarza) lub transformatą Fouriera (dla dowolnego kształtu fali).

W przypadku powtarzającego się kształtu fali (jak fala prostokątna), kiedy wykonujesz analizę Fouriera, okazuje się, że wszystkie sinusy, które składają się na kształt fali, mają częstotliwości, które są całkowitą wielokrotnością częstotliwości pierwotnego kształtu fali. Są to tak zwane „harmoniczne”.

Fala sinusoidalna będzie miała tylko jedną harmoniczną - podstawową (cóż, już jest sinusoidą, więc składa się z jednego sinusa). Fala kwadratowa będzie miała nieskończoną serię nieparzystych harmonicznych (to znaczy, aby utworzyć falę kwadratową z sinusów, musisz dodać sinus z każdej nieparzystej wielokrotności częstotliwości podstawowej).

Harmoniczne są generowane przez zniekształcenie fali sinusoidalnej (chociaż można je wygenerować osobno).

Dlaczego to jest ważne:

1. Możesz zrobić falę sinusoidalną z dowolnej fali o stałej częstotliwości, o ile masz filtr, który przepuszcza częstotliwość podstawową, ale blokuje 2x częstotliwość (tak jakbyś pozostawił tylko jedną harmoniczną na miejscu).
2. W rzeczywistości możesz stworzyć falę sinusoidalną o innej częstotliwości niż pierwotna - wystarczy użyć filtra pasmowego, aby przekazać pożądaną harmoniczną. Możesz użyć tego, aby uzyskać falę sinusoidalną o częstotliwości, która jest wielokrotnością częstotliwości innego sinusa - po prostu zniekształć pierwotny sinus i wybierz żądaną harmoniczną.
3. Systemy RF muszą emitować przebiegi, które nie zawierają harmonicznych poza dopuszczalnym zakresem częstotliwości. W ten sposób zasilacz PWM (częstotliwość robocza ~ 100 kHz, fala prostokątna) może zakłócać działanie radia FM (częstotliwości robocze 88-108 MHz, 11-12 MHz (IF)).
4. Jeśli chcesz mieć falę kwadratową o bardzo szybkim czasie narastania / opadania, przepustowość twojego systemu będzie musiała być znacznie szersza niż częstotliwość podstawowa twojej fali prostokątnej.

Pochodna - szybkość zmian - sinusoidy jest kolejną sinusoidą o tej samej częstotliwości, ale przesuniętą fazowo. Rzeczywiste komponenty - przewody, anteny, kondensatory - mogą śledzić zmiany (napięcia, prądu, natężenia pola itp.) Pochodnych, a także mogą podążać za oryginalnym sygnałem. Szybkości zmiany sygnału, szybkości zmiany sygnału, szybkości zmiany szybkości zmiany sygnału itp., Wszystkie istnieją i są skończone.

Istnieją harmoniczne fali kwadratowej, ponieważ szybkość zmiany (pierwsza pochodna) fali kwadratowej składa się z bardzo wysokich, nagłych pików; nieskończenie wysokie skoki, w przypadku tak zwanej idealnej fali kwadratowej. Rzeczywiste systemy fizyczne nie mogą podążać za tak wysokimi prędkościami, więc sygnały ulegają zniekształceniu. Pojemność i indukcyjność po prostu ograniczają ich zdolność do szybkiego reagowania, więc dzwonią.

Tak jak dzwon nie może się przemieszczać ani zniekształcać z prędkością, z jaką uderza, i tak magazynuje i uwalnia energię (wibrując) z mniejszymi prędkościami, tak więc obwód nie reaguje z prędkością, z jaką uderza go kolce, które są krawędziami fali prostokątnej. On również dzwoni lub oscyluje, gdy energia jest rozpraszana.

Jeden blok pojęciowy może pochodzić z koncepcji, że harmoniczne mają większą częstotliwość niż podstawowa. To, co nazywamy częstotliwością fali prostokątnej, to liczba przejść, które wykonuje na jednostkę czasu. Wróćmy jednak do tych pochodnych - tempo zmian sygnału jest ogromne w porównaniu do tempa zmian sinusoidy na tej samej częstotliwości. Tutaj spotykamy wyższe częstotliwości składowe: te wysokie prędkości zmian mają atrybuty fal sinusoidalnych o wyższej częstotliwości . Wysokie częstotliwości są implikowane przez wysokie prędkości zmian w kwadracie (lub innym niesinusoidalnym) sygnale.

Szybko rosnąca krawędź nie jest typowa dla sinusoidy o częstotliwości f , ale dla sinusoidy o znacznie wyższej częstotliwości. System fizyczny podąża za nim najlepiej, jak to możliwe, ale będąc ograniczonym szybkością, reaguje znacznie bardziej na składowe o niższej częstotliwości niż na wyższe. Więc spowalniamy ludzi, widząc większą amplitudę, niższe częstotliwości i nazywamy to f !

W praktyce przyczyną „pojawienia się” harmonicznych jest to, że liniowe obwody filtrujące (a także wiele nieliniowych obwodów filtrujących), które są przeznaczone do wykrywania określonych częstotliwości, będą postrzegać pewne kształty fal o niższej częstotliwości jako częstotliwości, którymi są zainteresowane. Aby zrozumieć, dlaczego tak jest, wyobraź sobie dużą sprężynę o bardzo dużej wadze, która jest przymocowana do rączki za pomocą dość luźnej sprężyny. Pociągnięcie za uchwyt nie spowoduje bezpośredniego dużego przesunięcia ciężaru, ale duża sprężyna i ciężar będą miały określoną częstotliwość rezonansową, a jeśli ktoś porusza uchwytem do przodu i do tyłu przy tej częstotliwości, może dodać energii do dużego ciężaru i sprężyny , zwiększając amplitudę oscylacji, aż będzie znacznie większa niż mogłaby być wytworzona „bezpośrednio” przez pociągnięcie luźnej sprężyny.

Najbardziej efektywnym sposobem przenoszenia energii do dużej sprężyny jest przyciągnięcie gładkiego wzoru odpowiadającego fali sinusoidalnej - taki sam wzór ruchu jak duża sprężyna. Inne wzorce ruchów będą jednak działać. Jeśli ktoś poruszy uchwytem w inne wzory, część energii, która zostanie włożona do zespołu sprężynującego podczas części cyklu, zostanie pobrana podczas innych. Jako prosty przykład załóżmy, że po prostu zacina się uchwyt do skrajnych krańców drogi z prędkością odpowiadającą częstotliwości rezonansowej (równoważnej fali prostokątnej). Przenoszenie uchwytu z jednego końca na drugi w momencie, gdy ciężar osiąga koniec podróży, będzie wymagało dużo więcej pracy niż oczekiwanie na przesunięcie się ciężaru z powrotem, ale jeśli nie przesuniesz uchwytu w tym momencie, sprężyna na uchwycie będzie walczyć z ciężarem ” próba powrotu do centrum. Niemniej jednak wyraźne przesunięcie uchwytu z jednej skrajnej pozycji do drugiej działałoby.

Załóżmy, że ciężar waha się od jednej sekundy do lewej, a drugi do tyłu. Teraz zastanów się, co się stanie, jeśli jeden przesunie dźwignię z jednej skrajności ruchu do drugiej, ale ma już trzy sekundy z każdej strony zamiast jednej sekundy. Za każdym razem, gdy jeden uchwyt przesuwa się z jednej skrajności na drugą, ciężar i sprężyna będą miały zasadniczo taką samą pozycję i prędkość, jak dwie sekundy wcześniej. W związku z tym będą mieli do siebie tyle energii, ile mieliby dwie sekundy wcześniej. Z drugiej strony, takie dodawanie energii będzie miało miejsce tylko w jednej trzeciej tak często, jak w przypadku, gdy „czas pozostawania” wynosiłby tylko jedną sekundę. A zatem, poruszanie rączką w przód i w tył z częstotliwością 1 / 6Hz doda trzecią ilość energii na minutę (moc) do ciężaru, tak jak przesuwanie jej w przód i w tył z częstotliwością 1/2 Hz. Podobnie dzieje się, gdy ktoś porusza uchwytem do przodu i do tyłu z częstotliwością 1/10 Hz, ale ponieważ ruchy będą wynosić 1/5 tak często, jak przy częstotliwości 1/2 Hz, moc będzie wynosić 1/5.

Załóżmy teraz, że zamiast utrzymywania czasu trwania liczby wielokrotnej nieparzystej, czyni się ją wielokrotnością liczby parzystej (np. Dwie sekundy). W tym scenariuszu pozycja ciężaru i sprężyny dla każdego ruchu od lewej do prawej będzie taka sama jak jego pozycja przy następnym ruchu od prawej do lewej. W konsekwencji, jeśli uchwyt doda energii do sprężyny w pierwszym, energia ta zostanie zasadniczo anulowana przez ten drugi. W związku z tym wiosna się nie poruszy.

Jeśli zamiast wykonywać ekstremalne ruchy za pomocą uchwytu, poruszamy go płynniej, wówczas przy niższych częstotliwościach ruchu uchwytu może być więcej razy, gdy walczy się z ruchem kombinacji ciężar / sprężyna. Jeśli ktoś porusza uchwytem w układzie fali sinusoidalnej, ale z częstotliwością zasadniczo różną od częstotliwości rezonansowej układu, energia, którą przenosi się do układu podczas pchania „właściwą” drogą, będzie całkiem dobrze zrównoważona przez pobraną energię z systemu wypychając „niewłaściwy” sposób. Inne wzory ruchu, które nie są tak ekstremalne, jak fala prostokątna, przynajmniej w niektórych częstotliwościach, przenoszą więcej energii do systemu, niż jest odbierane.

jeszcze prostszą analogią jest wyobrażenie sobie trampolinę.

elektryzowanie przewodnika jest analogiczne do rozciągania membrany trampoliny, w ten sposób „rozciąga” (zniekształca) pola energetyczne połączone z tym drutem.

stań ​​na środku trampoliny, zejdź w dół i chwyć membranę podłogi trampoliny. teraz wstań i pociągnij / rozciągnij go podczas jazdy, aby na wysokości talii był szczyt.

ma to oczywiście efekt magazynowania pewnej ilości energii w błonie.

teraz, jeśli po prostu go puścisz, nie będzie po prostu delikatnie pływał w dół i przestał się poruszać. szybko spadnie, a następnie WIBRACIE ... oscyluje kilka razy w przód i w tył „samodzielnie” ... gdy spłynie zgromadzona energia.

jeśli zamiast tego stopniowo opuszczasz go z powrotem na miejsce ... nie może gwałtownie trzaskać nigdzie, więc nic nie powoduje / nie pozwala na wibrowanie „na własną rękę”. jedyne wibrowanie, jakie to robi, pochodzi od ciebie.

wszystkie częstotliwości (dowolnego kształtu fali) mają harmoniczne matematyczne, kształty fali z nagłymi potencjalnymi zmianami zapewniają łatwiejszą możliwość wyrażenia tych harmonicznych jako oscylacje w świecie rzeczywistym.

Tylko uzupełnienie tego pytania

Czy te harmoniczne są nieistotne w takich rzeczach jak transfer danych (wysoka = 1, niska = 0) i mają znaczenie tylko w sytuacjach takich jak audio lub RF?

że myślę, że nikt nie powiedział: to nie jest bez znaczenia. Zwykle jesteśmy zainteresowani transmisją impulsów w obwodach cyfrowych, więc w większości przypadków nie bierzemy pod uwagę tej fenomenologii fal. Wynika to z faktu, że chociaż fala prostokątna ma swoje harmoniczne (nie rzeczywistą liczbę nieskończonych harmonicznych w świecie rzeczywistym), więc wznoszenie / opadanie zajmie trochę czasu, twój projekt obwodu jest zwykle „świadomy” tego. Jest to jedna z największych zalet cyfrowej elektroniki / komunikacji cyfrowej: od określonego punktu (napięcia) w górę sygnał jest interpretowany jako 1, a od określonego punktu w dół wynosi 0. W większości przypadków tak naprawdę nie ma znaczenia dokładny format fali prostokątnej, ponieważ spełnia określone specyfikacje czasowe.

Należy jednak pamiętać, że niezależnie od tego, czy częstotliwość sygnału prostokątnego wzrasta do punktu, w którym długość fali jest w przybliżeniu rzędu wielkości linii transmisyjnej (może to być ścieżka przewodząca PCB), można wziąć pod uwagę tę fenomenologię fali. Nadal masz obwód w dłoni, ale mogą wystąpić pewne zjawiska falowe. Zatem w zależności od impedancji „linii” niektóre częstotliwości mogą mieć inną prędkość propagacji innych częstotliwości. Ponieważ fala kwadratowa składa się z wielu harmonicznych (lub idealnie nieskończoności), prawdopodobnie będziesz mieć zniekształconą falę kwadratową na końcu linii transmisyjnej lub toru przewodzącego (ponieważ każda harmoniczna będzie podróżować z inną prędkością).

Dobrym przykładem tego może być sytuacja, w której wykorzystujemy transmisję danych USB w obwodzie. Należy pamiętać, że szybkość transmisji danych jest bardzo wysoka (fale prostokątne o wysokiej częstotliwości), dlatego należy wziąć pod uwagę impedancję linii przesyłowej. W przeciwnym razie prawdopodobnie będziesz mieć problemy z komunikacją.

Krótko mówiąc, wszystko to ma znaczenie i wszystko działa razem, ale to do ciebie należy analiza, czy te rzeczy są ważne w twoim projekcie / analizie, czy nie.