Rezystancja wewnętrzna akumulatora

Próbuję ustalić, gdzie popełniłem błąd w związku z następującym problemem:

^{symulacja tego obwodu - Schemat utworzony przy użyciu CircuitLab}

Dwie baterie są identyczne, a każda z nich ma napięcie jałowe 1,5 V. Po zapaleniu lampa ma rezystancję 5 . Przy zamkniętym przełączniku mierzy się napięcie 2,5 V w poprzek lampy. Jaka jest wewnętrzna rezystancja każdej baterii?$\Omega$

(Problem 2.1 w Agarwal i Lang's, Podstawy analogowych i cyfrowych układów elektronicznych ). Zwróć uwagę na odpowiedź wydrukowaną na odwrocie książki: 0,5 .$\Omega$

Oto moje rozwiązanie:

Krok 1

Użyj prawa pierwiastka, aby znaleźć prąd, , przez żarówkę. v = i R → i 1 = ${i}_{1}$

$$v=iR \rightarrow {i}_{1} = \frac{v}{{R}_{bulb}}=\frac{2.5V}{5\Omega}=\frac{1}{2}A.$$ Krok 2

Modeluj rezystancję wewnętrzną każdej baterii jako rezystor. Podaj równoważną rezystancję dwóch rezystorów szeregowo.

$${R}_{eq}={R}_{1}+{R}_{2}=2{R}_{n}$$ Krok 3

Zgodnie z prawem napięcia Kirchoffa różnica potencjałów między dwoma akumulatorami musi być równa i przeciwna do różnicy potencjałów na lampie. Łączę prawo pierwiastkowe z powyższym wyrażeniem w następujący sposób:

$$v={i}_{2}{R}_{eq} \rightarrow {R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{2}} (eqn. 1)$$ Krok 4

Według obecnego prawa Kirchoffa suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero.

$${i}_{1}-{i}_{2}=0 \rightarrow {i}_{2}={i}_{1} (eqn.2)$$ Krok 5

Połącz eqns. 1 i 2, aby znaleźć , rezystancję wewnętrzną pojedynczej baterii. R n = ${R}_{n}$

$${R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{1}}=2.5\Omega$$

Wniosek

Po zastanowieniu się nad opisem problemu, zwłaszcza w części napięcia w obwodzie otwartym, wiem, że popełniam pewien logiczny błąd. Jednak po prostu nie widzę tego sam. Gdzie popełniłem błąd? Czy nie powinienem sobie wyobrażać, że rezystancję wewnętrzną akumulatorów można modelować jako rezystor? Czy podejście energii / mocy byłoby lepiej dostosowane do tego problemu?

Myślę, że twoje błędne przekonanie zdarza się w kroku 3:

Zgodnie z prawem napięcia Kirchoffa różnica potencjałów między dwoma akumulatorami musi być równa i przeciwna do różnicy potencjałów na lampie. Łączę prawo pierwiastkowe z powyższym wyrażeniem w następujący sposób [...]

To nie jest prawda, a przynajmniej nie napisano wystarczająco dokładnie. Może powinieneś narysować cały obwód, aby ułatwić zrozumienie:

^{symulacja tego obwodu - Schemat utworzony przy użyciu CircuitLab}

Teraz zastosuj prawo napięcia:

$$V(BAT1) + (-I\times R1) + V(BAT2) + (-I\times R2) + (-I\times R(LAMP1)) = 0$$ $$2 V_{bat} - I\times 5\ \Omega = 2 I\times X$$ $$\frac{V_{bat}}{I} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$\frac{1,5\ V}{0,5\ A} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$X = 0.5\ \Omega$$

Pominąłem prąd przepływomierza (zakładany jako idealny), więc nie muszę stosować prawa prądu, ponieważ tylko jeden znany prąd płynie w pętli.

Sprawiłeś, że to zbyt skomplikowane. Jak powiedziałeś, prąd akumulatora wynosi 0,5 A. To 0,5A powoduje spadek napięcia akumulatora o 0,5 V z powodu połączonej rezystancji szeregowej akumulatorów. Możemy po prostu użyć prawa Ohma. Vdrop = Ibatt * Rbatt.

Zatem Rbatt = 0,5 V / 0,5 A = 1 Ohm. Ale to jest połączony szeregowy opór. Tak więc każdy akumulator przyczynia się do 0,5 omów.

Błąd w analizie polega na równaniu 1. Prawidłowe równanie to:

$V_{Bat1}+V_{Bat2}-i_2R_{eq}=v$

Na marginesie: Opór wewnętrzny powstaje z powodu ruchliwości elektrolitu, stężenia, pola powierzchni elektrod i długości między elektrodami. Napięcie powstaje w wyniku potencjałów redoks elektrod i istnieje ostatnie równanie dla stężenia.