Dlaczego liczby z serii E różnią się od potęg 10?

Te numery serii E są wspólne dla stosowanych rezystory. Na przykład wartości E6 to:

• 1.0
• 1.5
• 2.2
• 3.3
• 4.7
• 6,8

Jak widać, każdy ma około osobno. Ale zastanawiam się, dlaczego nie są one mocami10$10^\frac16$ zaokrągleniu do 2 znaczących liczb.$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 nie powinien zaokrąglać do 3.3 bez względu na zaokrąglanie w górę lub w dół. Zaokrąglając do najbliższej liczby, 4,6416 zaokrągla do 4,6.

To samo dzieje się z innymi wartościami serii E. Na przykład, moce zaokrąglonych do 2 znaczących liczb to:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

Podczas gdy wartości E12 są:

• 1.0
• 1.2
• 1.5
• 1.8
• 2.2
• 2.7
• 3.3
• 3,9
• 4.7
• 5.6
• 6,8
• 8.2

Liczby 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 i 8.2 z E12 różnią się od odpowiadających im obliczonych powyżej.

Dlaczego więc seria E liczb preferowanych różni się od potęgi 10 zaokrąglonej do najbliższej liczby?

Naprawdę podobało mi się twoje pytanie i zdecydowanie je podniosłem. Twoje pytanie skłoniło mnie do zastanowienia się i zrobienia dodatkowej lektury na ten temat. Naprawdę doceniam to, czego nauczyłem się z tego procesu i że stymulowałeś ten proces dla mnie. Dzięki!

Kontekst historyczny

Nie zamierzam tu wracać do czasów babilońskich. (Prawdopodobnie cała koncepcja sięga tak daleko i dalej.) Ale zacznę około wieku temu.

Charles Renard zaproponował kilka konkretnych sposobów porządkowania liczb w celu podziału (dziesiętnych) przedziałów. Skoncentrował się na podzieleniu zakresu dziesięciolecia na 5, 10, 20 i 40 kroków, przy czym logarytm każdej wartości kroku tworzyłby ciąg arytmetyczny. I stały się znane jako R5, R10, R20 i R40. Oczywiście istnieje wiele innych opcji. Ale wtedy były jego.

$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$$10$$40$

Jeśli chcesz przeczytać więcej, powyższe i wiele więcej można znaleźć w publikacji zatytułowanej NBS Technical Note 990 (1978) . (National Bureau of Standards [NBS] jest teraz NIST.)

Tymczasem po II wojnie światowej nastąpił silny nacisk na standaryzację produkowanych części. Tak więc różne grupy, w różnych momentach, ciężko pracowały nad „racjonalizacją” standardowych wartości, aby wspomóc produkcję, oprzyrządowanie, liczbę zębów na zębatkach i… cóż, większość wszystkiego.

Przejrzyj serię numerów preferowanych E i zwróć uwagę na powiązane dokumenty oraz ich historię. Jednak dokumenty, o których mowa na tej stronie Wikipedii, nie obejmują tego, w jaki sposób wybrano te preferowane liczby. W tym celu istnieje „ISO 497: 1973, Przewodnik po wyborze szeregu liczb preferowanych i serii zawierających bardziej zaokrąglone wartości liczb preferowanych”. a także „ISO 17: 1973, Przewodnik po korzystaniu z liczb preferowanych i serii liczb preferowanych”. Nie mam dostępu do tych dokumentów, więc nie byłem w stanie ich odczytać, mimo że w szczególności ISO 497: 1973 wydawało się dobrym miejscem.

Seria E (geometryczna)

Nie znalazłem jeszcze żadnych szczegółów na temat dokładnego algorytmu zastosowanego kilkadziesiąt lat temu do zadanego pytania. Pomysł „racjonalizacji liczb” nie jest trudny, ale dokładny proces, który został zastosowany, znacznie wykracza poza moją zdolność do pewności co do inżynierii odwrotnej. I nie byłem w stanie odkryć dokumentu historycznego, który go ujawnił. Niektóre elementy można ujawnić jedynie poprzez posiadanie pełnych dokumentów związanych z ich ostatecznymi wyborami. I jeszcze nie znalazłem tych dokumentów. Ale jestem pewien, że udało mi się ustalić, jaki musiał być ich proces dotyczący pytania o opornik.

Jedna z rzeczy wymienionych w pubie NBS. 990 jest faktem, że różnice i sumy liczb preferowanych same w sobie nie powinny być liczbami preferowanymi. Ma to na celu zapewnienie pokrycia innych wartości z zakresu dekady, gdy wartości jawne nie spełniają potrzeby (poprzez zastosowanie dwóch wartości w układzie sumy lub różnicy).

Należy pamiętać, że ten zasięg pytanie jest bardziej istotne dla serii, takich jak E3 i E6 i jest prawie w ogóle nie ważne dla E24, na przykład, który bezpośrednio zawiera wiele wartości interwencji. Mając to na uwadze, moje myślenie o ich myśleniu jest następujące. Być może nie odejdzie zbyt daleko od faktycznego uzasadnienia procesu „racjonalizacji” wartości i podjęcia ostatecznej decyzji o preferowanych wartościach, które ostatecznie zdecydowali się zastosować.

Moje rozumowanie

Jest bardzo ładny, prosty arkusz szukać tego, co podsumowuje wartości E-Series dla rezystorów: Vishay E-Series .

Oto mój obraz dwucyfrowych wartości serii E, który obejmuje również wartości obliczone:

Oto mój proces, biorąc pod uwagę powyższe, które moim zdaniem mogą być co najmniej podobne do rozumowania zastosowanego wiele lat temu:

1. Idea zasięgu jest najważniejsza dla E3, a najmniej istotna dla E24. Szybkie spojrzenie na E3 sugeruje problem z zaokrąglonymi wartościami 10, 22 i 46. Wszystkie są liczbami parzystymi i nie ma możliwości skomponowania liczb nieparzystych przy użyciu tylko liczb parzystych. Więc jedna z tych liczb musi się zmienić. Nie mogą się zmienić 10. A dla zmiany jednej jedyne dwie pozostałe możliwości to: (1) 10, 22, 47; lub (2) 10, 23, 46. Ale problem (2) ma problem: różnica między 46 a 23 wynosi 23, która sama jest liczbą w sekwencji. I to wystarczający powód, aby wyeliminować opcję (2). Pozostawia to tylko opcję (1) 10, 22 i [47]. To determinuje E3. (Używam [] do otaczania zmodyfikowanych wartości sekwencji i <> do otaczania wartości, które należy zachować z poprzedniej sekwencji.)
2. W przypadku E6 musi zachować wybór wartości E3, wstawiając własne wartości pomiędzy nimi. Nominalnie E6 wynosi wtedy <10>, 15, <22>, 32, [47] i 68. Jednak różnica między 32 a 22 wynosi 10 i jest to jedna z wartości już w sekwencji. Również 47 minus 32 to 15. Ponownie, 32 jest zaangażowany w sytuację problemową. Ani 22, ani 47 nie można zmienić (są dziedziczone). Zatem oczywistym (i jedynym) wyborem jest dostosowanie sekwencji E6 do <10>, 15, <22>, [33], [47] i 68. Różnice i wartości sumy zapewniają teraz również zasięg .
3. W przypadku E12 musi zachować wybrane wartości E6, wstawiając własne wartości. Nominalnie E12 to wtedy <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> i 83. Liczba 83 ma już problem, ponieważ 83 minus 68 wynosi 15, a to już jest w sekwencji. 82 jest najbliższą alternatywą. Ponadto rozpiętość między 22 a 26 wynosi 4, podczas gdy rozpiętość między 26 a 33 wynosi 7. Rozpiętości powinny, z grubsza mówiąc, monotonicznie wzrastać. Ta sytuacja jest poważna i jedyną opcją jest dostosowanie 26 do najbliższego najbliższego wyboru, 27. Sekwencja to teraz <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> i [82]. Ale znów mamy problem z 38, z poprzednim rozpiętością 5, a kolejnym 9. Ponownie jedynym rozwiązaniem tego problemu jest dostosowanie 38 do najbliższego najbliższego wyboru, 39.
4. E24 przechodzi podobny proces. Zaczyna się, nominalnie, jako: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] i 91. Myślę, że do teraz możesz zastosować logikę, którą zastosowałem wcześniej i uzyskać ostateczną sekwencja (nie upuszczając <>, ale pozostawiając wskaźnik []): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] i 91.

Myślę, że zgodzisz się, że ten proces jest racjonalny i prowadzi bezpośrednio do tego, co widzimy dzisiaj.

(Nie przeszedłem przez logikę zastosowaną do wszystkich 3-cyfrowych wartości z serii E: E48, E96 i E192. Ale myślę, że jest już wystarczająco dużo powyżej i wierzę, że potwierdzi się podobnie. Jeśli znajdziesz coś innego , Z przyjemnością też to obejrzę.)

Ostateczny proces racjonalizacji w kierunku preferowanych liczb wygląda następująco:

Powyżej możesz zobaczyć kroki i miejsca, w których dokonano zmian i jak je następnie przenieść (oczywiście od prawej do lewej).

Notatki

• Tam, gdzie to możliwe, suma lub różnica liczb preferowanych pozwala unikać liczby preferowanej. Jest to wymagane w celu zapewnienia jak największego zasięgu .
• Iloczyn, iloraz lub dowolna integralna dodatnia lub ujemna moc liczb preferowanych będzie liczbą preferowaną.
• Kwadrat preferowanej liczby w serii E12 daje wartość w serii E6. Podobnie, podniesienie do kwadratu preferowanej liczby w serii E24 daje wartość w serii E12. Itp.
• Biorąc pierwiastek kwadratowy z preferowanej liczby w serii E12, uzyskuje się wartość pośrednią w serii E24, która nie jest obecna w serii E12. Podobnie, biorąc pierwiastek kwadratowy z preferowanej liczby w serii E6, powstaje wartość pośrednia w serii E12, która nie jest obecna w serii E6. Itp.

Powyższe jest dokładnie prawdziwe, gdy używa się wartości teoretycznych zamiast wartości preferowanych. (Preferowane wartości zostały skorygowane, więc będzie pewne odchylenie z tego powodu, przy użyciu preferowanych wartości zamiast dokładnych).

Interesujące pytanie, które skłoniło mnie do zagłębienia się w historię problemów i uzasadnienia preferowanych liczb, których wcześniej nie do końca rozumiałem.

Więc dziękuję!