Jaka jest częstotliwość „Nyquista” dla próbkowania pochodnej sygnału?

12

Tło: Próbuję prąd przez kondensator. Sygnałem zainteresowania jest napięcie na kondensatorze. Będę cyfrowo zintegrować pomiar prądu, aby uzyskać napięcie.

Pytanie: Biorąc pod uwagę, że napięcie na kondensatorze jest ograniczone, a ja próbuję pochodną tego napięcia, jaka jest minimalna częstotliwość próbkowania wymagana do idealnej rekonstrukcji sygnału napięcia z obecnych próbek?

Jeśli nie ma odpowiedzi na to pytanie z puszki, wszystko, co mogłoby skierować mnie w dobrym kierunku, byłoby pomocne. Z góry dziękuję za wszelką pomoc !!

VIANDERN
źródło
1
Chcesz „idealnie zrekonstruować” oryginalny sygnał z próbek? Co przez to rozumiesz?
Elliot Alderson
1
Częstotliwość Nyquista jest dwa razy wyższa niż częstotliwość pierwotnego sygnału.
Peter Karlsen
@Dweerberkitty, jak wspomniał Dave, sygnał to tylko sygnał :). Mówiąc poważnie, jeśli używasz rzeczywistych systemów pomiarowych, mogą wystąpić opóźnienia, które będą miały wpływ na działanie instrumentu pochodnego. Jeśli więc je uwzględnisz (przy odrobinie szczęścia, jeśli system jest prosty), możesz analitycznie uzyskać niezbędny okres próbkowania.
Raaja,
„Napięcie na kondensatorze jest ograniczone pasmem”. Dlaczego?
Rodrigo de Azevedo
@RodrigodeAzevedo, to tylko założenie, aby uprościć opis problemu. W rzeczywistości nie jest ograniczona przepustowość, ale interesujący zakres częstotliwości jest dobrze zdefiniowany w tym problemie. Dzięki!
VIANDERN

Odpowiedzi:

19

Przyjmowanie pochodnej (lub całki) jest operacją liniową - nie tworzy żadnych częstotliwości, które nie byłyby w oryginalnym sygnale (ani nie usuwały żadnych), po prostu zmienia ich względne poziomy.

Zatem współczynnik Nyquista dla pochodnej jest taki sam jak dla oryginalnego sygnału.

Dave Tweed
źródło
3
To prawda w idealnym świecie, w którym występują idealnie ograniczone pasma sygnały, idealne filtry dolnoprzepustowe i brak szumów termicznych.
Rodrigo de Azevedo
Cały bilans SNR ulega zmianie. Mały komponent o wysokiej częstotliwości, który może mieć alias, ale nie robi wiele ze względu na swój rozmiar, może stać się sporym, z pewnością spowodowanym przez duże potwory o dużej częstotliwości o niskiej częstotliwości.
Scott Seidman
-1

Biorąc pochodną mnoży transformację przez s, co skutecznie obraca wykres wielkości przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zatem mogą równie dobrze być składnikami wyższej częstotliwości w pochodnej. Bardziej zwięzłym sposobem na określenie tego jest to, że derywatyzacja wzmacnia zawartość wysokiej częstotliwości.

Transformata Laplace'a (co byłoby reakcją skokową jednobiegunowego filtra górnoprzepustowego)1s+1

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Przekształcenie Laplace'a jego pochodnej,ss+1

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Pochodna w tym przypadku ma wyraźnie składowe o wyższej częstotliwości. Być może bardziej poprawnie, ma znacznie większe składowe wysokiej częstotliwości niż niebędące pochodnymi. Można zdecydować się na próbkowanie pierwszego sygnału z prędkością 200 rad / s z pewną pewnością, ponieważ energia jest bardzo mała w tempie NYQUIST, ale aliasing byłby znaczny, jeśli próbkowałbyś pochodną z tą samą szybkością.

Zatem zależy to od charakteru sygnału. Pochodna sinusoidy będzie sinusoidą o tej samej częstotliwości, ale pochodna szumu o ograniczonym paśmie będzie miała składowe o wyższej częstotliwości niż szum.

EDYCJA: W odpowiedzi na głos oddam ten dom konkretnym przykładem. Pozwól mi wziąć falę sinusoidalną i dodać do niej trochę przypadkowego normalnego hałasu (jedna dziesiąta wielkości fali sinusoidalnej)

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Fft tego sygnału to:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

A teraz pozwól mi wziąć pochodną sygnału: wprowadź opis zdjęcia tutaj

i fft pochodnej

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Podspróbkowanie będzie oczywiście alias albo sygnału, albo pochodnej. Efekty niepełnego próbkowania będą niewielkie dla sygnału, a wynik niewspróbkowania pochodnej będzie absolutnie bezużyteczny.

Scott Seidman
źródło
2
Nie jestem pewien, co myślisz tutaj spiskujesz, ale to nie są sygnały ograniczone przez pasmo.
Dave Tweed
Przekształcenie Fouriera sygnału i przekształcenie Fouriera jego pochodnej.
Scott Seidman
Jaki to w ogóle język?
Dave Tweed
1
Ach W takim przypadku tf()nie reprezentuje sygnału, reprezentuje funkcję przesyłania. Zdecydowanie nie ogranicza się do pasma.
Dave Tweed
1
Nadal brakuje Ci punktu, że sygnał jest ograniczony pasmem. Dodajesz do sygnału nielimitowany szum, aby podkreślić swój punkt, który jest poza zakresem pytania. Tak, jest to kwestia praktyczna, ale pytanie (moim zdaniem) jest teoretyczne.
Dave Tweed
-2

Nie możesz

Integracja powie ci tylko o tym, jak zmienia się napięcie podczas próbkowania.

Kondensator zawsze zacznie się jednak z pewnym ładunkiem, więc pojawi się napięcie początkowe. Twoje obliczenia nie mogą rozpoznać tego napięcia, więc nie mogą poznać rzeczywistego napięcia na kondensatorze w czasie pomiaru. Powinno to być znane z lekcji matematyki - zawsze integrujesz dwa punkty.

Masz również problem polegający na tym, że chociaż twoje obecne próbki pomiarowe są ograniczone przez Nyquista, rzeczywisty prąd płynący przez kondensator może nie być. O ile nie możesz zagwarantować, że prąd płynący przez kondensator ma twardy filtr dolnoprzepustowy gdzieś poniżej limitu Nyquista, nigdy nie możesz zmierzyć prądu wystarczająco dokładnie, aby odtworzyć napięcie. Muszę wyjaśnić, że jest to w rzeczywistości matematycznie niemożliwe, ponieważ wymagałoby to częstotliwości próbkowania nieskończoności.

Ale jeśli znasz napięcie początkowe i jeśli rzeczywisty prąd przez kondensator jest odpowiednio filtrowany przez filtr dolnoprzepustowy, to DaveTweed ma rację, że granica Nyquista dla całki jest taka sama jak dla próbkowanych danych.

Graham
źródło
Nie rozumiem, dlaczego trzeba robić różnicę między faktycznym prądem przez kondensator a mierzoną wartością pasma. Co jest tak magicznego w tej sytuacji, że nie ma już zastosowania znana liniowość pochodnych, filtrów i integracji?
rura
@pipe Jednym słowem, próbkowanie. Załóżmy, że próbkujemy przy 1 kHz. Załóżmy teraz, że mamy skok prądu o długości 0,5 ms. Wersja próbkowana nigdy nie zobaczy szczytu, ale rzeczywiste napięcie kondensatora na pewno tak. Następnie masz błędy resztkowe między każdą formą integracji cyfrowej a rzeczywistą wartością. I nawet nie zacząłem od niczego związanego z rozdzielczością, która jest kolejną puszką robaków.
Graham
Ale energia w tym impulsie rozłoży się na pasma, które zobaczy sampler . Na przykład: ciąg impulsów z bardzo krótkimi impulsami, po ograniczeniu pasma, wyniesie nieznacznie podwyższony poziom prądu stałego. Obszar twojego pulsu pozostanie taki sam, a integracja wersji z ograniczonym pasmem zakończy się tym samym rezultatem.
rura