Dlaczego stała czasowa wynosi 63,2%, a nie 50% lub 70%?

30

Studiuję o obwodach RC i RL. Dlaczego stała czasowa wynosi 63,2% napięcia wyjściowego? Dlaczego jest zdefiniowany jako 63%, a nie jakakolwiek inna wartość?

Czy obwód zaczyna działać przy 63% napięcia wyjściowego? Dlaczego nie na 50%?

circuit-analysis circuit-design math time-constant Bala Subramanian
źródło

41

1-e ^ -1 = 0,6321 ...

Andrew Morton

3

Zbiega się z 1 / przepustowością i jest wartością czasu w pierwszym rzędzie lag lub . W rozpadzie radioaktywnym zużywają 50% („okres półtrwania”).

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

Chu

1

@AndrewMorton: Nie jestem do końca pewien, co mówi o mnie, że zgadłem, że to będzie odpowiedź tylko z tytułu.

Ilmari Karonen,

4

@code_monk: Ciekawe jak ?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

Nominal Animal

3

Tylko nitpick: stała czasowa nie jest zdefiniowana jako 63%. Jest zdefiniowany jako odwrotność współczynnika wykładnika funkcji wykładniczej (patrz doskonałe odpowiedzi w tym wątku). Okazuje się, że to w wyniku , że stosunek ilości po przedziale czasu równy stałej czasowej w przybliżeniu (z dokładnością 2-cyfrowy) 63% wartości początkowej.

Lorenzo Donati wspiera Monikę

64

Inne odpowiedzi jeszcze nie wpłynęły na to, co czyni e wyjątkowym: zdefiniowanie stałej czasowej jako czasu wymaganego do spadku współczynnika e oznacza, że w dowolnym momencie tempo zmian będzie takie , że - jeśli to szybkość była kontynuowana - czas wymagany do zaniku do zera byłby jednorazowy.

Na przykład, jeśli ma się czapkę 1uF i rezystor 1M, stała czasowa będzie wynosić jedną sekundę. Jeśli kondensator zostanie naładowany do 10 woltów, napięcie spadnie z prędkością 10 woltów / sekundę. Jeśli zostanie naładowany do 5 woltów, napięcie spadnie z prędkością 5 woltów / sekundę. Fakt, że tempo zmian maleje wraz ze wzrostem napięcia, oznacza, że napięcie nie spadnie do zera w ciągu jednej sekundy, ale tempo spadku w dowolnym momencie będzie napięciem bieżącym podzielonym przez stałą czasową.

Gdyby stała czasowa została zdefiniowana jako jakakolwiek inna jednostka (np. Okres półtrwania), wówczas szybkość rozkładu nie byłaby już tak ładnie zgodna ze stałą czasową.

supercat
źródło

3

To może być najlepsza odpowiedź, ponieważ w namacalny sposób odpowiada na pytanie „ dlaczego? ”, Zamiast pokazywać „ jak ” to obliczyć.

Bort

Wspaniale, nie mogę uwierzyć, że nigdy się tego nie nauczyłem! (BTW, wykres uczyniłby tę odpowiedź jeszcze bardziej niesamowitą).

Przywróć Monikę

1

To doskonały intuicyjny wgląd. +1

Spehro Pefhany

1

„tempo spadku w dowolnym momencie będzie napięciem prądowym”. Przypuszczam, że chociaż „prąd” w tym kontekście jest niejednoznaczny, oba znaczenia działają.

Accumumulation

11

@ superupcat - dodałem wykres twojego przykładu. Możesz zasugerować wszelkie zmiany.

Przywróć Monikę

49

Jest wbudowany w matematykę rozkładu wykładniczego związanego z systemami pierwszego rzędu. Jeżeli odpowiedź zaczyna się od jedności w t = 0, to po jednej „jednostce czasu” odpowiedź wynosi . Kiedy patrzysz na czas narastania, odejmujesz to od jedności, dając 0,63212 lub 63,2%. $e^{-1} = 0.36788$

„Jednostka czasu” jest określana jako „stała czasowa” systemu i zwykle jest oznaczana τ (tau). Pełne wyrażenie odpowiedzi systemowej w czasie (t) to

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Stała czasowa jest więc przydatną wartością do poznania. Jeśli chcesz zmierzyć stałą czasową bezpośrednio, mierzysz czas potrzebny do uzyskania 63,2% jej końcowej wartości.

W elektronice okazuje się, że stała czasowa (w sekundach) jest równa R × C w obwodzie RC lub L / R w obwodzie RL, gdy używasz omów, farad i henry jako jednostek dla wartości składowych. Oznacza to, że jeśli znasz stałą czasową, możesz uzyskać jedną z wartości składowych, jeśli znasz drugą.

Dave Tweed
źródło

1

W przypadku wykładniczego spadku lub wzrostu powinniśmy zastosować reakcję krokową w celu zmniejszenia złożoności. Więc e-1 jest brany pod uwagę. Mam rację?

Bala Subramanian

@BalaSubramanian: tak, racja.

Dave Tweed

Ale mam jedną wątpliwość, na przykład w projektowaniu obwodu RC dla timera lub licznika. Rozładowuje i ładuje w określonym czasie. Czy okres czasu jest taki sam jak stała czasowa. Czy wymagany układ scalony lub urządzenie przestaje działać przy 63% napięcia?

Bala Subramanian

2

@BalaSubramanian: Nie, niekoniecznie. Każdy zegar ma własną metodę ustalania progu. Na przykład (nie) słynny 555 używa 1/3 i 2/3 Vcc jako swoich progów, co oznacza, że jego przedziały czasowe wynoszą 0,693⋅R⋅C lub 1,1⋅R⋅C, w zależności od trybu pracy. i .

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

Dave Tweed

11

Rozpad równoległego obwodu RC z kondensatorem naładowanym do Vo

v (t) = , gdzie jest stałą czasową R C. $Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

Więc v ( ) / Vo wynosi około 0,63212055882855767840447622983854 $\tau$

Innymi słowy, stała czasowa jest zdefiniowana przez iloczyn RC (lub stosunek L / R), a pozornie arbitralne napięcie jest wynikiem tej definicji i sposobu, w jaki następuje rozkład wykładniczy lub ładowanie.

Rozkład wykładniczy jest wspólny dla różnych procesów fizycznych, takich jak rozpad promieniotwórczy, niektóre rodzaje chłodzenia itp. I można go opisać za pomocą zwykłego równania różniczkowego pierwszego rzędu (ODE).

Załóżmy, że chcemy znać czas , gdy napięcie wynosi 0,5 początkowego napięcia (lub końcowego napięcia ładowania, jeśli od 0). To jest (z góry)

t = - lub około 0,693RC $\ln(0.5)\tau$

Tak czy inaczej, wyskakują niektóre irracjonalne liczby, a radzenie sobie z RC = jest „naturalnym” sposobem. $\tau$

Spehro Pefhany
źródło

10

To bardzo przybliżone przybliżenie.

Arsenał

1

@Arsenal Mógłbym użyć MATLAB i przenieść go do kilku tysięcy miejsc po przecinku, jeśli chcesz.

Spehro Pefhany

2

@Arsenal, przypuszczam, że 22/7 też nie jest dla ciebie wystarczająco dobre? : D

Wossname

3

22/7 to straszne przybliżenie do e. 19/7 jest znacznie lepszy.

alephzero

2

@SpehroPefhany (w przybliżeniu do przybliżenia, do którego się odnieśliście) Zawsze jestem zdumiony tym, jak ludzie matematyki lubią spędzać czas (wydaje mi się, że krzyżówki są dla nich zbyt łatwe! :-)

Lorenzo Donati wspiera Monikę

3

Jako uzupełnienie innych doskonałych odpowiedzi Dave'a Tweeda, supercata i Spehro Phefany'ego, dodam moje 2 centy.

Najpierw trochę dręczące, jak napisałem w komentarzu, stała czasowa nie jest zdefiniowana jako 63%. Formalnie definiuje się go jako odwrotność współczynnika wykładnika funkcji wykładniczej. To znaczy, jeśli Q jest odpowiednią wielkością (napięcie, prąd, moc, cokolwiek innego), a Q rozpada się z czasem jako:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

To, czego inne odpowiedzi tylko nieznacznie dotknęły, to dlaczego dokonano tego wyboru. Odpowiedź jest prosta : stała czasowa pozwala w łatwy sposób porównać szybkość ewolucji podobnych procesów. W elektronice często stałą czasową można interpretować jako „szybkość reakcji” obwodu. Jeśli znasz stałe czasowe dwóch obwodów, łatwo jest porównać ich „prędkość względną” poprzez porównanie tych stałych.

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

Innymi słowy, stała czasowa jest łatwym i zrozumiałym sposobem przekazania skali czasu, w której zjawisko występuje.

Lorenzo Donati wspiera Monikę
źródło

-1

$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

Matthijs Huisman
źródło

Dlaczego stała czasowa wynosi 63,2%, a nie 50% lub 70%?

Odpowiedzi: