Dlaczego zwiększenie częstotliwości próbkowania ułatwia wdrożenie filtra antyaliasingu?

Od odpowiedzi na pytanie dotyczące częstotliwości próbkowania i filtra antyaliasingowego przeczytałem:

Im bardziej zbliżasz się do teoretycznej minimalnej częstotliwości próbkowania, tym trudniej jest praktycznie zrealizować filtr analogowy.

Jeśli się nie mylę, oznacza to, że jeśli nasza częstotliwość próbkowania jest bliska naszej wymaganej teoretycznej minimalnej częstotliwości próbkowania, to zaprojektowanie analogowego filtra przeciwaliasingowego będzie trudniejsze.

Jestem pewien, że dla wielu ma to sens, ale nie mogłem zrozumieć, o co tu chodzi i dlaczego tak jest. Czy można to wyjaśnić przykładem w prostszy sposób?

W miarę zmniejszania częstotliwości próbkowania zmniejsza się separacja między obrazami w dziedzinie częstotliwości.

źródło

Pamiętaj, że powtórzenie widma zachodzi przy częstotliwości próbkowania. Kiedy obrazy są bliżej siebie, musisz uzyskać większe tłumienie w filtrze antyaliasingu. Filtr musi przejść z pasma przepustowego na pasmo zatrzymujące przed pojawieniem się następnego obrazu.

źródło z tej prezentacji

Aby zrekonstruować sygnał w dziedzinie cyfrowej z dziedziny analogowej, potrzebujesz co najmniej dwóch próbek w każdym cyklu o najwyższej częstotliwości występującej w sygnale analogowym. Na przykład na płytach CD używają 44,1 kHz do próbkowania maksymalnej częstotliwości w paśmie audio 20 kHz. Mogliby użyć 40 kHz, ale to jest na granicy, a filtr anty-aliasowy byłby niemożliwy.

Przy częstotliwości próbkowania 44,1 kHz teoretycznie najwyższy częstotliwościowy sygnał audio, który można by uchwycić cyfrowo bez wystąpienia aliasingu, wynosiłby 22 kHz. Więc co by się stało, gdyby 24 kHz zasilało cyfrowy system próbkowania 44,1 kHz, możesz zapytać.

Oznaczałoby to alias na sygnał 20 kHz w dziedzinie cyfrowej i mogłoby się pogorszyć. Co by było, gdyby sygnał wynosił 30 kHz? W sferze cyfrowej będzie to 16 kHz.

Wynika to z faktu, że undersampling tworzy aliasowany wynik:

Zdjęcie stąd .

Aby temu zapobiec, stosujesz filtr zapewniający odpowiednie tłumienie między 20 kHz a 24 kHz. Mówię 24 kHz, ponieważ sygnał 24 kHz jest na granicy stania się aliasowanym rzeczywistym sygnałem audio 20 kHz. Tak więc dla osób z doskonałym słyszeniem do 20 kHz (już nie dla mnie), filtr antyaliasowy musi zapewniać praktycznie zerowe tłumienie przy 20 kHz i może do 80 dB (lub więcej) tłumienie przy 24 kHz.

Jest to filtr dość wysokiego rzędu i większość inżynierów zajmujących się takimi systemami wolałaby stosunek bardziej jak 3: 1 dla częstotliwości próbkowania do najwyższej częstotliwości analogowej.

Twój filtr antyialiasowy ma trzy pasma

1) Pasmo przenoszenia, od DC do Fwanted
2) Stopband, od Fsample-Fwanted do nieskończoności
3) Pasmo przejściowe, od Fwanted do Fsample-Fwanted

Koszt filtra (liczba stopni, komponent Q, liczba mnożników) jest w przybliżeniu proporcjonalna do odwrotności pasma przejściowego i rośnie wraz z głębokością w dB pasma zatrzymania.

Im wyższy Fsample, tym szersze pasmo przejściowe i tańszy filtr

Załóżmy, że częstotliwość próbkowania wynosi$f_s$

Następnie, zgodnie z Nyquist , mogę próbkować sygnały o częstotliwości do i wykorzystywać próbkowane dane do dokładnej rekonstrukcji mojego sygnału.$f_s/2$

Co się stanie, jeśli mój sygnał nie „zatrzyma się” na , wówczas te sygnały powyżej próbkowanie, a mój zrekonstruowany sygnał nie będzie już taki sam. Ten efekt nazywa się aliasingiem .$f_s/2$$f_s/2$

Tak więc te sygnały powyżej muszą zostać odfiltrowane za pomocą filtra antyaliasingowego.$f_s/2$

Jednak nie chcemy, aby ten filtr wpływał na sygnały !$f_s/2$

Zatem filtr idealnie musi:

Nie rób nic, gdy$f < f_s/2$

ale

blokuj wszystko, gdy$f > f_s/2$

To niemożliwe do zrobienia! Więc musi być kompromis.

Gdy najwyższa częstotliwość w twoim sygnale jest bliska wówczas nie można wprowadzić filtra, aby nie wpływał on na częstotliwości sygnału bliskie$f_s/2$$f_s/2$

Sprawa staje się znacznie łatwiejsza, jeśli:

Ogranicz częstotliwości sygnału do znacznie mniejszych częstotliwości niż$f_s/2$

lub

możemy zwiększyć częstotliwość próbkowania tak, że kończy się w znacznie wyższej częstotliwości.$f_s/2$

Następnie „rozłączamy” najwyższą częstotliwość sygnału i częstotliwość .$f_s/2$

To wtedy „tworzy przestrzeń” dla filtra antyaliasingowego, ponieważ częstotliwość, przy której filtr nie powinien nic robić (najwyższa częstotliwość sygnału), i częstotliwość, przy której wszystko powinno być zablokowane ( ), będą dalej od siebie oddalone.$f_s/2$

Załóżmy, że twoje pasmo zainteresowania wynosi od DC do 100 Hz, a twój sygnał ma ograniczony przez pasmo biały szum do 10 kHz. Powiedzmy, że zdecydowałeś się na próbkowanie przy częstotliwości 2 kHz. Możesz zbudować ładny filtr z dolnym biegunem z tłumieniem 20dB / dekadę i tłumić hałas, aby zminimalizować aliasing

Powiedzmy, że chcesz próbkować przy 210 Hz. Musisz zbudować filtr wyższego rzędu, aby uzyskać wystarczające tłumienie. Takie filtry są trudniejsze i droższe w projektowaniu i budowie. Jeśli uda Ci się to zrobić poprawnie, otrzymasz sygnał ze znacznym zniekształceniem faz w paśmie pasmowym.

W przypadku filtra analogowego należy wziąć pod uwagę jego wydajność w zakresie najwyższej częstotliwości. Często oznacza to, że trzeba ustawić „fc” dla filtra analogowego nieco wyższą niż najwyższa częstotliwość będąca przedmiotem zainteresowania (i / lub użyć ostrzejszego filtra).

Aby uniknąć aliasingu, musisz próbkować z częstotliwością co najmniej dwukrotnie wyższą niż najwyższy składnik, który przejdzie przez filtr na pewnym maksymalnym poziomie, na którym możesz tolerować zanieczyszczenie przez aliasowany sygnał. Oznacza to, że częstotliwość próbkowania jest co najmniej dwa razy większa od fc i często musi być nieco wyższa.

Więc teraz, praca wstecz, wyższa częstotliwość próbkowania, oznacza, że ​​możesz mieć wyższą wartość fc, a to oznacza, że ​​możesz łatwiej uzyskać płaską odpowiedź do pewnej częstotliwości zainteresowania mniejszej niż fc.

Ale … jak zapewne wiesz, szum rośnie wraz z przepustowością. Dlatego w przypadku aplikacji o niskim poziomie hałasu może być konieczne konserwatywne ustawienie przepustowości filtra.