W jakich warunkach transformacja gwiazda-siatka jest odwracalna?

Wszyscy znamy i kochamy transformacje Δ-Y (trójkąt-gwiazda) i Y-Δ (trójkąt-trójkąt) w celu uproszczenia sieci z trzema rezystorami:

Zdjęcie z Creative Commons

Transformaty Δ-Y i Y-have mają dobrą właściwość polegającą na tym, że Δ zawsze można przekształcić w Y, a Y można zawsze przekształcić w Δ, bez względu na wartość zastosowanych rezystancji.

Istnieje uogólniona wersja transformacji Y-called zwana transformacją gwiazda-siatka . To przekształca „gwiazdę” rezystorów w „siatkę” rezystorów .$N$$^{N}C_{2}$

Zdjęcie z Creative Commons

Wikipedia sugeruje, że transformacja gwiazda-siatka zawsze będzie istnieć - ale transformacja odwrotna, siatka-gwiazda, może nie istnieć. To znaczy:

Transformacja zastępuje rezystory N rezystorami . Dla N> 3 wynikiem jest wzrost liczby rezystorów, więc transformacja nie ma ogólnej odwrotności bez dodatkowych ograniczeń.$^{N}C_{2}$

Jakie ograniczenia należy spełnić, aby istniało odwrotność?

Szczególnie interesuje mnie przekształcenie 4-węzłowej sieci kratowej w 4-rezystorową sieć gwiazdową.

Motywacja do pytania: mam model przemysłowych systemów zasilania (tak naprawdę tylko bardzo dużą sieć źródeł napięcia stałego i impedancji) zawierający ~ 2000 węzłów. Próbuję sprowadzić go do zaledwie czterech węzłów zainteresowania.

Edytować:

Istnieje kilka opublikowanych artykułów na ten temat.

• Versfeld, L., „Uwagi na temat transformacji sieci elektrycznych w siatce gwiazd”, „ Electronics Letters, vol. 6, nr 19, str. 597,599, 17 września 1970 r.

  Badane są dwa nowe aspekty dobrze znanej transformacji gwiazda-siatka: (a) niezbędne i wystarczające warunki do transformacji danej ogólnej sieci siatki w równoważną sieć gwiazd; (b) rozszerzenie sieci zawierających źródła.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, „Transformacja siatki-gwiazdy”, Electronics Letters, tom 10, nr 6, s. 73,74, 21 marca 1974 r.

  Równoważna sieć gwiazdowa istnieje dla danej sieci siatkowej, jeśli ta ostatnia spełnia warunki ponownego powiązania z Pszenicą. Korzystając z tego faktu, pokazano, że wszystkie niediagonalne kofaktory macierzy admitancji węzła odniesienia takiej sieci kratowej są równe. Z tej właściwości wynika prosta zależność między elementami dwóch sieci.

Nie mam dostępu do IEEE Xplore, więc nie mogę ich odczytać.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$

Myślę, że wszystko to oznacza, że ​​warunek jest również warunkiem wystarczającym.

Mówi to (czy to prawda, czy nie), że istnieje więcej niż jeden sposób przypisywania wartości do sieci gwiazdowej pięciu rezystorów, tak że wszystkie konfiguracje wydają się nierozróżnialne według wszystkich zewnętrznych pomiarów „czarnej skrzynki” oporu.

Przekształcenie siatki to tutaj czerwony śledź. Gdyby sieci gwiazd były jednoznacznie określone, to oczywiście zawsze istniałaby odwrotność jakiegokolwiek odwzorowania z tej sieci na dowolny inny typ, z powrotem do tej sieci.