W jakich warunkach transformacja gwiazda-siatka jest odwracalna?

15

Wszyscy znamy i kochamy transformacje Δ-Y (trójkąt-gwiazda) i Y-Δ (trójkąt-trójkąt) w celu uproszczenia sieci z trzema rezystorami:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Zdjęcie z Creative Commons

Transformaty Δ-Y i Y-have mają dobrą właściwość polegającą na tym, że Δ zawsze można przekształcić w Y, a Y można zawsze przekształcić w Δ, bez względu na wartość zastosowanych rezystancji.

Istnieje uogólniona wersja transformacji Y-called zwana transformacją gwiazda-siatka . To przekształca „gwiazdę” rezystorów w „siatkę” rezystorów .NNC2

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Zdjęcie z Creative Commons

Wikipedia sugeruje, że transformacja gwiazda-siatka zawsze będzie istnieć - ale transformacja odwrotna, siatka-gwiazda, może nie istnieć. To znaczy:

Transformacja zastępuje rezystory N rezystorami . Dla N> 3 wynikiem jest wzrost liczby rezystorów, więc transformacja nie ma ogólnej odwrotności bez dodatkowych ograniczeń.NC2

Jakie ograniczenia należy spełnić, aby istniało odwrotność?

Szczególnie interesuje mnie przekształcenie 4-węzłowej sieci kratowej w 4-rezystorową sieć gwiazdową.


Motywacja do pytania: mam model przemysłowych systemów zasilania (tak naprawdę tylko bardzo dużą sieć źródeł napięcia stałego i impedancji) zawierający ~ 2000 węzłów. Próbuję sprowadzić go do zaledwie czterech węzłów zainteresowania.


Edytować:

Istnieje kilka opublikowanych artykułów na ten temat.

  • Versfeld, L., „Uwagi na temat transformacji sieci elektrycznych w siatce gwiazd”, „ Electronics Letters, vol. 6, nr 19, str. 597,599, 17 września 1970 r.

    Badane są dwa nowe aspekty dobrze znanej transformacji gwiazda-siatka: (a) niezbędne i wystarczające warunki do transformacji danej ogólnej sieci siatki w równoważną sieć gwiazd; (b) rozszerzenie sieci zawierających źródła.

  • Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, „Transformacja siatki-gwiazdy”, Electronics Letters, tom 10, nr 6, s. 73,74, 21 marca 1974 r.

    Równoważna sieć gwiazdowa istnieje dla danej sieci siatkowej, jeśli ta ostatnia spełnia warunki ponownego powiązania z Pszenicą. Korzystając z tego faktu, pokazano, że wszystkie niediagonalne kofaktory macierzy admitancji węzła odniesienia takiej sieci kratowej są równe. Z tej właściwości wynika prosta zależność między elementami dwóch sieci.

Nie mam dostępu do IEEE Xplore, więc nie mogę ich odczytać.

Li-aung Yip
źródło
@ user26129: To pytanie jest w tym samym duchu, co pytania do analizy obwodów, których EE.SE ma już mnóstwo. Jedyną niezwykłą częścią jest to, że nie jest to praca licencjacka i że jest to ogólne pytanie, a nie konkretne ćwiczenie z podręcznika.
Li-aung Yip
@ Li-aungYip: Nie kwestionuję zasadności postawienia pytania w EE.SE, ale wierzę, że uzyskasz więcej lepszych odpowiedzi gdzie indziej. Staram się pomóc ci uzyskać odpowiedź, nie próbując docenić pytania;)
user36129
@ user26129: Ah! W każdym razie pożądana odpowiedź znajduje się w połączonych dokumentach Electronic Letters - staram się uzyskać ich kopię, aby móc je przeczytać i opublikować odpowiednie części jako odpowiedź tutaj.
Li-aung Yip
1
@ Li-aung Yip dobrze, jeśli to wszystko, czego potrzebujesz ... wydajna elektronika.nl/04245011.pdf
user36129
Naprawdę nie wiedziałem, jak obliczyć różne rezystancje w siatce siatkowej, biorąc pod uwagę rezystory siatki gwiazd, ale ponieważ liczba rezystorów zwiększa dodatkowe ograniczenia, których szukasz, powinny być dowolne. Rozwiązanie równań dla transformacji odwrotnej prowadzi do układu równań, który ma więcej zmiennych niż równań, więc wystarczy wybrać niektóre opory, a następnie obliczyć inne.
Vladimir Cravero

Odpowiedzi:

2

NbNb=NeNvNeNvGABGCD=GACGBD=GADGBC

GXY=GXGYGTOTGTOT=i=1nGiGXY0GXGY=GXZGYZGAGB=GACGBC=GADGBDGACGBD=GADGBCGCGD=GACGAD=GBCGBDGABGCD=GADGBCGABGCD=GACGBDGABGCD=GACGBD=GADGBCGTOTGTOT=GA+GB+GC+GD=GA(1+β+γ+δ)β=GBGA=GBCGAC=GBDGADGAB=GAGBGTOT=GAGBGA(1+β+γ+δ)=GB(1+β+γ+δ)GB=GAB(1+β+γ+δ)

Myślę, że wszystko to oznacza, że ​​warunek jest również warunkiem wystarczającym.

MatteoDL
źródło
GABGCD=GACGBD=GADGBC
0

Mówi to (czy to prawda, czy nie), że istnieje więcej niż jeden sposób przypisywania wartości do sieci gwiazdowej pięciu rezystorów, tak że wszystkie konfiguracje wydają się nierozróżnialne według wszystkich zewnętrznych pomiarów „czarnej skrzynki” oporu.

Przekształcenie siatki to tutaj czerwony śledź. Gdyby sieci gwiazd były jednoznacznie określone, to oczywiście zawsze istniałaby odwrotność jakiegokolwiek odwzorowania z tej sieci na dowolny inny typ, z powrotem do tej sieci.

Kaz
źródło