Zależność i różnica między transformatami Fouriera, Laplace'a i Z.

Jestem trochę zdezorientowany tymi tematami. Wszyscy zaczęli wyglądać tak samo dla mnie. Wydaje się, że mają takie same właściwości, jak związane z nimi liniowość, przesunięcie i skalowanie. Nie mogę ich osobno rozdzielić i określić celu każdej transformacji. Który z nich służy do analizy częstotliwości?

Nie mogłem (z Google) znaleźć pełnej odpowiedzi na ten konkretny problem. Chcę je porównać na tej samej stronie, aby uzyskać pewną jasność.

Transformaty Laplace'a i Fouriera są ciągłymi (całkowymi) transformacjami funkcji ciągłych.

Transformacja Laplace'a odwzorowuje funkcję na funkcję zmiennej zespolonej s , gdzie .$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Ponieważ pochodna odwzorowuje na , transformata Laplace'a liniowego równania różniczkowego jest równaniem algebraicznym. Zatem transformata Laplace'a jest przydatna między innymi do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Jeśli ustawienie części rzeczywistej złożona zmienna y zero, , wynik jest transformatą Fouriera funkcji , który jest zasadniczo reprezentacja w dziedzinie częstotliwości z (należy zauważyć, że jest to możliwe tylko jeśli dla tej wartości istnieje wzór na przekształcenie Laplace'a , tzn. nie przechodzi on w nieskończoność).$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Transformaty z zasadniczo dyskretny wersja transformaty Laplace'a, a zatem mogą być użyteczne w rozwiązaniu różnicy równań dyskretnej wersji różnicowych równań. Transformacja Z odwzorowuje sekwencję na funkcję ciągłą zmiennej zespolonej .$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Jeśli ustawimy wielkość z na jedność, , wynikiem jest dyskretna transformata Fouriera która jest zasadniczo reprezentacją w dziedzinie częstotliwości dla .$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Transformaty Laplace'a można uznać za super-zestaw dla CTFT. Widzisz, w ROC, jeśli pierwiastki funkcji przenoszenia leżą na osi urojonej, tj. Dla s = σ + jω, σ = 0, jak wspomniano w poprzednich komentarzach, problem przekształceń Laplace'a zostaje zredukowany do ciągłej transformacji Fouriera w czasie. Aby cofnąć się nieco, dobrze byłoby wiedzieć, dlaczego transformaty Laplace'a ewoluowały przede wszystkim, gdy mieliśmy transformaty Fouriera. Widzisz, konwergencja funkcji (sygnału) jest obowiązkowym warunkiem istnienia transformacji Fouriera (absolutnie sumowalne), ale są też sygnały w świecie fizycznym, w których nie ma takich zbieżnych sygnałów. Ponieważ jednak ich analiza jest konieczna, sprawiamy, że się zbiegają, mnożąc do niej monotonicznie malejącą wykładniczą e ^ σ, co sprawia, że ​​z natury są zbieżne. Ten nowy σ + jω otrzymuje nową nazwę „s”, którą często zastępujemy jako „jω” dla odpowiedzi sygnałów sinusoidalnych przyczynowych układów LTI. W płaszczyźnie s, jeśli ROC transformaty Laplace'a obejmuje oś urojoną, to zawsze będzie istniała transformata Fouriera, ponieważ sygnał zbiegnie się. To właśnie te sygnały na osi urojonej składają się z sygnałów okresowych e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (według Eulera).

Podobnie, z-transform jest rozszerzeniem DTFT, po pierwsze, po to, by się zbiegały, po drugie, aby nasze życie było o wiele łatwiejsze. Łatwo jest radzić sobie z az niż z ae ^ jω (ustawienie r, promień okręgu ROC jako untiy).

Ponadto jest bardziej prawdopodobne, że użyjesz transformacji Fouriera niż Laplace'a dla sygnałów, które nie są przyczynowe, ponieważ transformaty Laplace'a znacznie ułatwiają życie, gdy są używane jako transformaty jednostronne (jednostronne). Możesz użyć ich również po obu stronach, wynik będzie taki sam z pewnymi wariacjami matematycznymi.

Transformaty Fouriera służą do przekształcania / reprezentowania funkcji zmieniającej się w czasie w dziedzinie częstotliwości.

Transformacja Laplace'a służy do przekształcania / reprezentowania funkcji zmieniającej się w czasie w „domenie integralnej”

Transformacje Z są bardzo podobne do laplace'a, ale są dyskretnymi konwersjami przedziałów czasowych, bliższymi implementacjom cyfrowym.

Wszystkie wyglądają tak samo, ponieważ metody użyte do konwersji są bardzo podobne.

Spróbuję wyjaśnić różnicę między transformacją Laplace'a i Fouriera na przykładzie opartym na obwodach elektrycznych. Załóżmy, że mamy układ opisany znanym równaniem różniczkowym, powiedzmy na przykład, że mamy wspólny obwód RLC. Załóżmy również, że do włączenia lub wyłączenia obwodu służy wspólny przełącznik. Teraz, jeśli chcemy zbadać obwód w stanie ustalonym sinusoidy, musimy zastosować transformatę Fouriera. W przeciwnym razie, jeśli nasza analiza obejmuje włączenie lub wyłączenie obwodu, musimy zaimplementować transformację Laplace'a dla równań różniczkowych.

Innymi słowy, transformacja Laplace'a jest używana do badania przejściowej ewolucji odpowiedzi układu od stanu początkowego do końcowego stanu sinusoidalnego. Obejmuje to nie tylko zjawisko przejściowe ze stanu początkowego układu, ale także ostateczny stan ustalony sinusoidy.

Różne narzędzia do różnych zadań. Pod koniec XVI wieku astronomowie zaczęli robić paskudne obliczenia. Logarytmy najpierw obliczono, aby przekształcić mnożenie i dzielenie na łatwiejsze dodawanie i odejmowanie. Podobnie transformaty Laplace'a i Z zamieniają paskudne równania różniczkowe w równania algebraiczne, które masz szansę rozwiązać. Szeregi Fouriera zostały pierwotnie wynalezione w celu rozwiązania przepływu ciepła w cegłach i innych równań różniczkowych cząstkowych. Zastosowanie do wibrujących strun, rur narządów i analizy szeregów czasowych pojawiło się później.

W każdym systemie LTI do obliczania funkcji transferu używamy tylko transformaty Laplace'a zamiast transformacji Fouriera lub Z, ponieważ w Fourier otrzymujemy ograniczone wyjście; nie przechodzi ono w nieskończoność. I transformacja Z jest używana dla sygnałów dyskretnych, ale systemy LTI są sygnałami ciągłymi, więc nie możemy użyć transformacji Z. Dlatego też za pomocą transformaty Laplace'a możemy obliczyć funkcję przenoszenia dowolnego systemu LTI.