Matematyczny dowód, że napięcie RMS razy prąd RMS daje średnią moc

10

Wiem, że to prawda, ponieważ przeczytałem to w renomowanym źródle. Rozumiem także intuicyjnie, że moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia lub prądu dla obciążenia rezystancyjnego, a „S” w RMS oznacza „kwadrat”. Szukam twardego matematycznego dowodu.

Niech oznacza prąd w chwili , podobnie oznacza napięcie w tej chwili. Jeśli możemy zmierzyć napięcie i prąd we wszystkich chwilach, a nie ma chwil, oznacza to, że moc pozorna wynosi: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P. = \frac{1}{n} \sum_{ja = ja}^{n} {ja}_{ja} {V.}_{ja}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Co to jest elegancki matematyczny dowód na to

P. = {ja}_{R M. S.} {V.}_{R M. S.}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

osiąga ten sam wynik dla obciążeń rezystancyjnych?

power math rms Phil Frost
źródło

Jeśli dobrze pamiętam, powinien istnieć dowód, że RMS jest najbliższym przybliżeniem rzeczywistej wartości sygnału w czasie trwania zainteresowania. Korzystając z tego, prawdopodobnie możemy udowodnić, że . Niestety wydaje się, że zgubiłem książkę, która miała na to dowód. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

AndrejaKo

RMS prąd razy Napięcie RMS nie jest równe średniej mocy. Jest równa (średniej) mocy pozornej. Jeśli masz obciążenia nie rezystancyjne, może to mieć znaczenie.

SomeoneSomewhereSupportsMonica

16

Prawo Ohma

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

Natychmiastowe rozproszenie mocy jest iloczynem napięcia i prądu

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Zamień 1 na 2, aby uzyskać chwilową moc przez rezystor pod względem napięcia lub prądu:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

Średnia moc jest definitywnie całką mocy chwilowej w danym okresie, podzieloną przez ten okres. Zastąp 3, aby uzyskać średnią moc pod względem napięcia i prądu.

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

Definicja prądu RMS Kwadrat po obu stronach Pomnóż przez R, aby znaleźć równanie 4 dla średniej mocy Definicja napięcia RMS Kwadrat po obu stronach Podziel przez R, aby znaleźć równanie 4 dla średniej mocy Mnożenie wyrażeń 7 i 10 dla średniej mocy Pierwiastek kwadratowy z obu stron

5 : {ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T.} {ja}^{2)} (t) re t}{T.}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : {ja}_{R M. S.}^{2)} = \frac{\int_{0}^{T.} {ja}^{2)} (t) re t}{T.}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : {ja}_{R M. S.}^{2)} R = \frac{R \int_{0}^{T.} {ja}^{2)} (t) re t}{T.} = {P.}_{za v sol}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : {V.}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T.} {V.}^{2)} (t) re t}{T.}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : {V.}_{R M. S.}^{2)} = \frac{\int_{0}^{T.} {V.}^{2)} (t) re t}{T.}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{{V.}_{R M. S.}^{2)}}{R} = \frac{\int_{0}^{T.} {V.}^{2)} (t) re t}{R T.} = {P.}_{za v sol}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : {P.}_{za v sol}^{2)} = {V.}_{R M. S.}^{2)} {ja}_{R M. S.}^{2)}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : {P.}_{za v sol} = {V.}_{R M. S.} {ja}_{R M. S.}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ CO BYŁO DO OKAZANIA

Stephen Collings
źródło

6

Bardzo prostym dowodem (w dyskretnym przypadku próbkowania w pytaniu) jest podstawienie E / R na I w równaniu RMS

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2)} + x_{2)}^{2)} + x + \dots + x_{n}^{2)})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

i bardzo prosta algebra.

I tak, to prawda, ponieważ jest określone, że mamy czysto rezystancyjne obciążenie, więc nie występuje problem kąta fazowego ani harmonicznych obecnych w I, które nie występują również w E.

EDYTOWAĆ

definicja RMS dla dyskretnych punktów (z Wikipedii):

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2)} + x_{2)}^{2)} + \dots + x_{n}^{2)})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

więc

{V.}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

i

{ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} ({ja}_{1}^{2)} + {ja}_{2)}^{2)} + \dots + {ja}_{n}^{2)})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

i według prawa Ohma podstawienie :

{ja}_{ja} = {V.}_{ja} / R

$I_i = V_i/R$

{ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} (({V.}_{1} / R)^{2)} + ({V.}_{2)} / R)^{2)} + \dots + ({V.}_{n} / R)^{2)})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

następnie:

{ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} / R^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} / R^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)} / R^{2)})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

Wyciąganie 1 / R ^ 2

{ja}_{R M. S.} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

więc:

{V.}_{R M. S.} * {ja}_{R M. S.}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ to:

1 / R (\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

dystrybucja 1 / R:

(\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} / R + {V.}_{2)}^{2)} / R + \dots + {V.}_{n}^{2)} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Ponowne użycie podstawienia prawa Ohma:

(\frac{1}{n} ({V.}_{1} {ja}_{1} + {V.}_{2)} {ja}_{2)} + \dots + {V.}_{n} {ja}_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

który jest:

\frac{1}{n} \sum_{ja = ja}^{n} {ja}_{ja} {V.}_{ja}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

George White
źródło

Jeśli algebra jest prosta, możesz nam pokazać? Możesz użyć znaczników LaTeX do wpisania matematyki.

Phil Frost

4

Dzięki za zachętę. Nie korzystałem z LaTexa od 1983 roku.

George White

0

Kluczem jest to, że w przypadku obciążenia rezystancyjnego napięcie i prąd są w fazie.

Jeśli napięcie i prąd są równe , to ich iloczyn jest równy . Moc jest falą sinusoidalną o podwójnej częstotliwości, która oscyluje około . Jest to jego średnia w czasie („średnia” „kwadratu”). Pierwiastek średniego kwadratu to . Tam otrzymujemy magiczną liczbę. $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

Pierwotne średnie napięcie lub prąd kwadratowy to napięcie i prąd równoważne DC, które z czasem spowodują takie samo rozproszenie mocy . Jeśli średnie rozproszenie mocy wynosi W, wówczas takie rozproszenie mocy może być stale wytwarzane przez VDC pomnożone przez A DC. $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

Jeśli prąd i napięcie są poza fazą 90 stopni (czyste obciążenie bierne), wówczas możemy myśleć o jednym jako a drugim o . Obowiązująca równość to zatem . Przebieg mocy nie jest już „tendencyjny”, aby oscylować wokół ; jego średnia wynosi zero: moc przepływa do obciążenia z naprzemiennych półcyklów, a fala mocy waha się dodatnio i ujemnie. $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Aby odpowiedzieć na pytanie, napięcie i prąd RMS są definiowane na podstawie średniej mocy: każda z nich jest uzyskiwana z pierwiastka kwadratowego średniej mocy. Pomnożenie dwóch wartości uzyskanych z pierwiastka kwadratowego mocy średniej, odzyskuje moc średnią.

Kaz
źródło

Myślę, że odpowiedź Stephena Collinga jest najlepsza. Nie opiera się na szczegółach kształtu fali i obejmuje przypadek continuos. Również „pierwiastkowe średnie kwadratowe napięcie lub prąd to napięcie i prąd równoważny DC, które z czasem spowodują takie samo rozproszenie mocy” wydaje się odpowiadać na pytanie, przyjmując odpowiedź, a następnie idąc w kółko, aby uzyskać odpowiedź.

George White

-2

Uprośćmy bardziej ten problem bez matematyki. Weź ten prosty obwód, który wytwarza kwadratowy przebieg o czasie 10 sekund.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Napięcie jest takie

wprowadź opis zdjęcia tutaj

i obecny jest

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Wtedy będzie kształt fali mocy

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Gdy przełącznik jest otwarty, rezystor nie jest zasilany, więc całkowita energia wynosi 10 watów x 5 sekund = 50 dżuli i jest taka sama, jak przyłożymy 5 watów w 10 sekund wprowadź opis zdjęcia tutaj

i to jest średnia moc. Średnie napięcie wynosi 5 woltów, a średni prąd wynosi 0,5 ampera. Wykonując proste obliczenia, średnia moc daje 2,5 W lub 25 Dżuli, co nie jest prawdą.

Zróbmy więc tę sztuczkę Z TYM ZAMÓWIENIEM:

Najpierw kwadrat napięcie (i prąd)
Następnie weź średnią kwadratową
Następnie oblicz pierwiastek kwadratowy średniej

Kwadrat fali napięcia będzie wynosił

wprowadź opis zdjęcia tutaj

A średnia to 50 V ^ 2 (nie 50 ^ 2 woltów). Od tego momentu zapomnij o przebiegu. Tylko wartości. Pierwiastek kwadratowy powyższej wartości wynosi 7.071… woltów RMS. Robiąc to samo z prądem, uzyskasz 0,7071..A RMS, a średnia moc wyniesie 7,071 V x 0,7071 A = 5 Watów

Jeśli spróbujesz zrobić to samo z mocą RMS, wynik będzie bezwartościowy 7,071 W.

Zatem jedyną równoważną mocą grzewczą jest średnia moc, a jedynym sposobem obliczenia jest użycie wartości skutecznych napięcia i prądu

GR Tech
źródło

Czy nie możemy obliczyć średniej mocy rozproszonej w rezystorze jako średniej mocy chwilowej? Gdzie jest matematyczny dowód, o który wnioskował PO?

Joe Hass

W przypadku niektórych skomplikowanych przebiegów poza kursem musimy je zintegrować, używając przedziałów czasowych bliskich zeru, aby uzyskać dokładne wartości średnie. W ogóle unikam matematyki, dlatego używam fali prostokątnej, która bardzo łatwo jest dostrzec znaczenie średniej. RMS jest również wartością średnią.

GR Tech

Wydaje mi się, że wykazujesz, że rzeczywista średnia moc wynosi 5 watów, a RMS V * RMS I = 5 watów, co dowodzi, że w tym przypadku OP jest poprawny. Pokazujesz również, że w tym przypadku średnia V * średnia I = 2,5 wata.

George White

Dobrze, rozumiem. Problem językowy ponownie. Próbowałem powiedzieć, że obliczenie Vavg x Iavg jest nieprawidłowe. Dzięki za zniechęcenie mnie!

GR Tech

Jeżeli „RMS jest również wartością średnią”, dlaczego wartość RMS napięcia linii energetycznej nie jest równa 0,0 V, podobnie jak wartość średnia?

Joe Hass

Matematyczny dowód, że napięcie RMS razy prąd RMS daje średnią moc

Odpowiedzi: