Są to dyskretne równania dyfuzji dryfu zaczerpnięte z książki „Analiza i symulacja urządzeń półprzewodnikowych” Siegfrieda Selberherra. Równanie ciągłości elektronów jest następujące:
+-+++++=( ( Δyj - 1+ Δyjot) / 2 Δxja) . reni + 1 / 2 , j. B ( ( φi + 1 ,j-φI ,j) /VT.) .ni + 1 , j( (Δyj -1+Δyjot) / 2Δxi - 1) .DnI - 1 / 2 , j.B((φi−1,j−φi,j)/VT).ni−1,j[(((Δyj−1+Δyj)/2Δxi).Dnja+1/2,j.B((φi,j−φi+1,j)/VT))(((Δyjot−1+Δyj) / 2Δja -1) .DnI - 1 / 2 , j. B ( (φja , j-φi - 1 , j) /VT.) )( ( ((Δxi - 1+Δxja) / 2Δyjot) .Dni,j+1/2.B((φi,j−φi,j+1)/VT))(((Δxi−1+Δxi)/2Δyj−1).Dnja , j -1/2.B((φi,j−φI ,j−1)/VT) ) ].nja , j((Δxja−1+Δxi) / 2Δyjot) .Dni , j + 1 / 2. B ( ( φi , j + 1- φja , j) /VT.) . ni , j + 1( (Δxi - 1+Δxja) / 2Δyj - 1) .Dni , j - 1 / 2. B ( ( φi , j - 1- φja , j) /VT.) . ni , j - 1REfafamidoT.jaV.mija , j. ( ( Δxi - 1+ Δxja) / 2 ) . ( ( Δyj - 1+ Δyjot) / 2 )
Równanie ciągłości otworu jest następujące:
+−+++++=((Δyj−1+Δyj)/2Δxi).Dpi+1/2,j.B((φi,j−φi+1,j)/VT).pi+1,j((Δyj−1+Δyj)/2Δxi−1).Dpi−1/2,j.B((φi,j−φi−1,j)/VT).pi−1,j[(((Δyj−1+Δyj)/2Δxi).Dpi+1/2,j.B((φi+1,j−φi,j)/VT))(((Δyj−1+Δyj)/2Δxi−1).Dpi−1/2,j.B((φi−1,j−φi,j)/VT))(((Δxi−1+Δxi)/2Δyj).Dpi,j+1/2.B((φi,j+1−φi,j)/VT))(((Δxi−1+Δxi)/2Δyj−1).Dpi,j−1/2.B((φi,j−1−φi,j)/VT))].pi,j((Δxi−1+Δxi)/2Δyj).Dpi,j+1/2.B((φi,j−φi,j+1)/VT).pi,j+1((Δxi−1+Δxi)/2Δyj−1).Dpi,j−1/2.B((φi,j−φi,j−1)/VT).pi,j−1REFFECTIVEi,j.((Δxi−1+Δxi)/2).((Δyj−1+Δyj)/2
gdzie i są odstępami siatki dla siatki różnic skończonych wzdłuż kierunków X i Y. , są współczynnikami dyfuzji elektronów i dziur. to funkcja Bernoulliego, a to napięcie termiczne.
ΔiΔjDnDpB(x)=x/(ex−1)VT
Również gdzie
jest skutecznym terminem generacji / rekombinacji. , , i to warunki SRH, Augera, radiacyjnej i rekombinacji jonizacji uderzeniowej.
REFFECTIVE=RSRH+RAU+ROPT+RII
REFFECTIVERSRHRAUROPTRII
Teraz stosuję schemat iteracyjny sprzężonego Newtona, aby rozwiązać powyższe równania, w których muszę je rozróżnić. Rozróżniając potencjalne „ ”, zauważyłem, że pojawia się w trzech miejscach, a mianowicie:φφ
Mobilność elektronowa / dziura w polu wysokim, i ;μhighn,p=μlown,p/[1+(μLICNn,p.En,p/vsatn,p)βn,p]1/βn,pDn,p=μn,p.VT
Funkcja Bernoulliego, gdzie „x” oznacza tutaj różnicę między potencjałami w sąsiednich punktach siatki iB(x)
Jonizacja uderzeniowa , , gdzie i oznaczają elektron / dziurę odpowiednio prądy i pole elektryczne. Aktualne warunki składają się z potencjalnych terminów, jak w:
, ,RII=−αn.(|Jni,j|/q)−αp.(|Jpi,j|/q)αn=an.e−bn/|Ei,j|αp=ap.e−bp/|Ei,j|Jn,pEJnxi+1/2,j=Dni+1/2,j.[B(φi,j−φi+1,jVT).ni,j−B(φi+1,j−φi,jVT).ni+1,j]/Δxi→(31)Jnyi,j+1/2=Dni,j+1/2.[B(φi,j−φi,j+1VT).ni,j−B(φi,j+1−φi,jVT).ni,j+1]/Δyj→(32)Jpxi+1/2,j=Dpi+1/2,j.[B(φi,j−φi+1,jVT).pi+1,j−B(φi+1,j−φi,jVT).pi,j]/Δxi→(33) ,Jpyi,j+1/2=Dpi,j+1/2.[B(φi,j−φi+1,jVT).pi,j+1−B(φi+1,j−φi,jVT).pi,j]/Δyj→(34)
Zasadniczo muszę je rozróżnić, aby znaleźć Jacobiego względem . Problem pojawia się, gdy różnica między potencjałami wynosi zero. Oznacza to, że całe równanie elektron / dziura staje się stałe, gdy różnica potencjałów wynosi zero. Zatem Jacobi jest również zerowy.φ
Oznaczałoby to, że końcowa macierz jakobowska miałaby całe kolumny i rzędy złożone z zer, co czyni macierz osobliwą i nie jest możliwe rozwiązanie pojedynczej macierzy.
Czy jest to właściwe podejście do rozwiązywania przy użyciu metody Newtona. Co powinienem zrobić, gdy różnica potencjałów wynosi zero?