Jak obliczyć Jacobiego równań ciągłości elektron / dziura dla półprzewodników w odniesieniu do potencjału przy zastosowaniu metody Newtona?

1

Są to dyskretne równania dyfuzji dryfu zaczerpnięte z książki „Analiza i symulacja urządzeń półprzewodnikowych” Siegfrieda Selberherra. Równanie ciągłości elektronów jest następujące:

((Δjot-1y+Δjoty)/2)Δjax).reja+1/2),jotn.b((φja+1,jot-φja,jot)/V.T.).nja+1,jot+((Δjot-1y+Δjoty)/2)Δja-1x).reja-1/2),jotn.b((φja-1,jot-φja,jot)/V.T.).nja-1,jot-[(((Δjot-1y+Δjoty)/2)Δjax).reja+1/2),jotn.b((φja,jot-φja+1,jot)/V.T.))+(((Δjot-1y+Δjoty)/2)Δja-1).reja-1/2),jotn.b((φja,jot-φja-1,jot)/V.T.))+(((Δja-1x+Δjax)/2)Δjoty).reja,jot+1/2)n.b((φja,jot-φja,jot+1)/V.T.))+(((Δja-1x+Δjax)/2)Δjot-1y).reja,jot-1/2)n.b((φja,jot-φja,jot-1)/V.T.))].nja,jot+((Δja-1x+Δjax)/2)Δjoty).reja,jot+1/2)n.b((φja,jot+1-φja,jot)/V.T.).nja,jot+1+((Δja-1x+Δjax)/2)Δjot-1y).reja,jot-1/2)n.b((φja,jot-1-φja,jot)/V.T.).nja,jot-1=Rja,jotmifafamidoT.jaV.mi.((Δja-1x+Δjax)/2)).((Δjot-1y+Δjoty)/2))

Równanie ciągłości otworu jest następujące:

((Δj1y+Δjy)/2Δix).Di+1/2,jp.B((φi,jφi+1,j)/VT).pi+1,j+((Δj1y+Δjy)/2Δi1x).Di1/2,jp.B((φi,jφi1,j)/VT).pi1,j[(((Δj1y+Δjy)/2Δix).Di+1/2,jp.B((φi+1,jφi,j)/VT))+(((Δj1y+Δjy)/2Δi1x).Di1/2,jp.B((φi1,jφi,j)/VT))+(((Δi1x+Δix)/2Δjy).Di,j+1/2p.B((φi,j+1φi,j)/VT))+(((Δi1x+Δix)/2Δj1y).Di,j1/2p.B((φi,j1φi,j)/VT))].pi,j+((Δi1x+Δix)/2Δjy).Di,j+1/2p.B((φi,jφi,j+1)/VT).pi,j+1+((Δi1x+Δix)/2Δj1y).Di,j1/2p.B((φi,jφi,j1)/VT).pi,j1=Ri,jEFFECTIVE.((Δi1x+Δix)/2).((Δj1y+Δjy)/2
gdzie i są odstępami siatki dla siatki różnic skończonych wzdłuż kierunków X i Y. , są współczynnikami dyfuzji elektronów i dziur. to funkcja Bernoulliego, a to napięcie termiczne.ΔiΔjDnDpB(x)=x/(ex1)VT

Również gdzie jest skutecznym terminem generacji / rekombinacji. , , i to warunki SRH, Augera, radiacyjnej i rekombinacji jonizacji uderzeniowej.

REFFECTIVE=RSRH+RAU+ROPT+RII
REFFECTIVERSRHRAUROPTRII

Teraz stosuję schemat iteracyjny sprzężonego Newtona, aby rozwiązać powyższe równania, w których muszę je rozróżnić. Rozróżniając potencjalne „ ”, zauważyłem, że pojawia się w trzech miejscach, a mianowicie:φφ

  1. Mobilność elektronowa / dziura w polu wysokim, i ;μn,phigh=μn,plow[1+(μn,pLICN.En,p/vn,psat)βn,p]1/βn,pDn,p=μn,p.VT

  2. Funkcja Bernoulliego, gdzie „x” oznacza tutaj różnicę między potencjałami w sąsiednich punktach siatki iB(x)

  3. Jonizacja uderzeniowa , , gdzie i oznaczają elektron / dziurę odpowiednio prądy i pole elektryczne. Aktualne warunki składają się z potencjalnych terminów, jak w: , ,RII=αn.(|Ji,jn|/q)αp.(|Ji,jp|/q)αn=an.ebn/|Ei,j|αp=ap.ebp/|Ei,j|Jn,pEJi+1/2,jnx=Di+1/2,jn.[B(φi,jφi+1,jVT).ni,jB(φi+1,jφi,jVT).ni+1,j]/Δix(31)Ji,j+1/2ny=Di,j+1/2n.[B(φi,jφi,j+1VT).ni,jB(φi,j+1φi,jVT).ni,j+1]/Δjy(32)Ji+1/2,jpx=Di+1/2,jp.[B(φi,jφi+1,jVT).pi+1,jB(φi+1,jφi,jVT).pi,j]/Δix(33) ,Ji,j+1/2py=Di,j+1/2p.[B(φi,jφi+1,jVT).pi,j+1B(φi+1,jφi,jVT).pi,j]/Δjy(34)

Zasadniczo muszę je rozróżnić, aby znaleźć Jacobiego względem . Problem pojawia się, gdy różnica między potencjałami wynosi zero. Oznacza to, że całe równanie elektron / dziura staje się stałe, gdy różnica potencjałów wynosi zero. Zatem Jacobi jest również zerowy.φ

Oznaczałoby to, że końcowa macierz jakobowska miałaby całe kolumny i rzędy złożone z zer, co czyni macierz osobliwą i nie jest możliwe rozwiązanie pojedynczej macierzy.

Czy jest to właściwe podejście do rozwiązywania przy użyciu metody Newtona. Co powinienem zrobić, gdy różnica potencjałów wynosi zero?

P. Biswas
źródło
1
czy stos matematyki byłby lepszym miejscem? czy fizyka?
Solar Mike
Sugeruję użycie automatycznego różnicowania do obliczenia jakobianu.
Biswajit Banerjee