Dlaczego przepływ potencjału źródła 3D spełnia jedynie równanie Laplace'a we współrzędnych sferycznych, a nie we współrzędnych cylindrycznych?

0

Potencjał przepływu źródła 3D jest określony przez: .ϕ=-λ4πr

Równanie Laplace'a we współrzędnych cylindrycznych jest następujące:

1rr(rϕr)+fa(θ,z)=0

gdzie ponieważ jest niezależne od i .ϕ θ zfa(θ,z)=0ϕθz

1rr(rϕr)=1rr(λ4πr)=(-λ4πr3))0

Zatem przepływ potencjału 3D nie jest rozwiązaniem równania Laplace'a we współrzędnych cylindrycznych.

Teraz równanie Laplace'a we współrzędnych sferycznych jest następujące:

1r2)sjan(θ)[r(r2)sjan(θ)ϕr)+fa(θ,Φ)]=0

Gdzie ponieważ jest niezależne od i .fa(θ,Φ)=0ϕθΦ

1r2)sjan(θ)r(r2)sjan(θ)ϕr)=1r2)sjan(θ)r(r2)sjan(θ)λ4πr2))=1r2)sjan(θ)r(fa(θ))=0

Dlatego przepływ potencjału źródła jest rozwiązaniem równania Laplace'a we współrzędnych sferycznych. Jak rozumiem, rozwiązanie równania Laplace'a powinno być niezależne od układu współrzędnych, więc o co tu chodzi?

Wszystkie równania dla tego pytania pochodzą od Johna D. Andersona Jr., Fundamentals of Aerodynamics Piąta edycja.

Unikalna linia świata
źródło
5
Pomimo zapisu jest różny w dwóch różnych układach współrzędnych. Jednym z nich jest odległość od punktu (pochodzenia), a druga jest w odległości od linii ( osią). Więc nie opisałeś tego samego potencjału dla współrzędnych cylindrycznych. rz
Dan

Odpowiedzi:

1

Odpowiedni potencjał (z warunku irracjonalnego) dla 2d dałby ci,

ϕ=Λ ln r

Co daje,

ur=λr

Sprawdź ponownie swoją definicję potencjalnej funkcji.

mustang
źródło