Drugi moment bezwładności (lub drugi moment powierzchni) przekroju belki

Muszę obliczyć moment bezwładności Iyz, ale znajduję w Internecie 0 informacji o tym, jak je zdobyć lub rozwiązać w prawdziwym problemie, tyle że równa się

{\bar{I}}_{y z} = \int y z d A

$\bar{I}_{yz}=\int yz\text{ d}A$

Jak mogę rozwiązać ten problem w przypadku belki antysymetrycznej?

structural-engineering civil-engineering mathematics inertia-matrix Hrvi
źródło

Myślę, że nazywa się to momentem produktowym obszaru , który jest związany z drugim momentem obszaru. Spójrz na Wikipedię .

Andrew

Odpowiedzi:

Produkty bezwładności nie są czymś, co często się spotyka. Jest tak głównie dlatego, że możemy rozbić większość przekrojów na małe kawałki i połączyć je z twierdzeniem o równoległej osi. W związku z tym po prostu pomijamy krok integracji.

Produkt wchodzi w grę, gdy obciążenie jest przykładane pod dziwnym kątem lub gdy masz do czynienia z niesymetrycznym przekrojem. Na przykład w przypadku kształtu kąta o równych nogach można obliczyć, że iloczyn bezwładności wynosi 0 dla każdej nogi. Jednak po połączeniu nóg środek ciężkości kształtu porusza się. W rezultacie, ponieważ środek ciężkości porusza się zarówno w osi x, jak i y, zmiana netto bezwładności produktu wyniesie:

A * x * y

$A*x*y$

Gdzie x byłoby odległością, w której centroid poruszał się w kierunku x, a y byłaby odległością, w której centroid poruszał się w kierunku y.

Staje się to szczególnie istotne w okręgu bezwładności Mohra w celu ustalenia pierwotnej osi bezwładności. Możesz obrócić ramkę odniesienia o kąt aby usunąć iloczyn bezwładności, gdzie można znaleźć w następujący sposób: $\theta$ $\theta$

θ = \frac{1}{2} a t a n (\frac{- 2 I_{x y}}{I_{x} - I_{y}})

$\theta = \frac{1}{2} atan\left(\frac{-2I_{xy}}{I_x-I_y}\right)$

znak
źródło

Drugi moment bezwładności względem osi Z ma postać przez to Iz, ale kiedy podstawa wiązki jest uważana za Y. Alternatywnie może szukać I_xz, który miałby x jako podstawę, a z jako wysokość wiązki.

{\bar{I}}_{y z} = \int y z^{2} d A

$\bar{I}_{yz}=\int yz^2\text{ d}A$

W przeciwnym razie, jeśli szukamy przekątnej I_yz, wiemy, że jest to $\space Iyz = \sqrt{[(I_z)^2 + (I_y)^2]}$

To, co pokazałeś, jest pierwszą chwilą obszaru, a nie drugą. Drugi moment pola to suma wszystkich małych części powierzchni wiązki pomnożona przez moment ich ramienia WRT neutralnej osi wiązki.

Na przykład dla prostokątnej belki o przekroju poprzecznym o wymiarach która może być kłodą drewna

X = 6 c m, Y = 12 c m a n d Z = 180 c m

$X = 6cm,\space Y =12 cm\space and\space Z =180 cm$

{\bar{I}}_{y z} = \int y z^{2} d A = 12 \times 180^{3} / 12 = 5832000 c m^{4}

$\bar{I}_{yz}=\int yz^2\text{ d}A = 12 \times 180^3 /12 = 5832000 cm^4$

kamran
źródło

Drugi moment bezwładności ma zawsze długość do czwartej - dałoby to długość piątej.

Mark

gdzie widzisz moc pięciu? Jest to sześcian szerokości i wysokości podzielony przez stałą, więc jest czwartą siłą. Powodem, dla którego nie używają I_z, jest to, że wiązka nie jest smukła w tym kierunku, a płaszczyzny naprężenia niekoniecznie pozostają gładkie.

kamran

y = L ^ 1, z ^ 2 = L ^ 2, dA = L ^ 2, więc całka jest L ^ 5.

Mark

dA to faktycznie d (szerokość) razy d (wysokość). Ponieważ szerokość jest stała, wychodzi z całki, więc dA jest po prostu dH. Dlatego jest to moc czterech. Poszukam książki ze statystyką dla studentów pierwszego roku i opublikuję link, ale można google zobaczyć, jak obliczane są właściwości sekcji pryzmatycznej.

kamran

Ale szerokość nadal byłaby częścią formuły. To, że przesuwasz go do przodu, nie zmienia wzoru na I. Wymiary wciąż są równe L ^ 5.

Mark