Jaka jest fizyczna interpretacja drugiego terminu w tensorze naprężenia lepkiego w równaniach Naviera-Stokesa?

Od jakiegoś czasu szukałem tej odpowiedzi. Przeczytałem wiele tekstów, a nawet obejrzałem kilka wykładów online, ale często to nigdy nie jest wyjaśnione i podane. Wygląda lepkość naprężenia w równaniach Naviera-Stokesa

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Teraz termin jest dość łatwy do zrozumienia, ponieważ jest to po prostu dyfuzja prędkości, ale trudno mi wymyślić fizyczną interpretację terminu . Po rozszerzeniu tego terminu skończyłem z $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

co wydaje się sugerować, że ten efekt nie występuje w polu prędkości pozbawionym dywergencji, ale nadal nie mogę wymyślić ani znaleźć fizycznej intuicji na temat tego, co ten termin właściwie oznacza. Czy ktoś rozumie, co fizycznie oznacza ten termin?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics Adam O'Brien
źródło

Dodanie: masz rację, że termin nie występuje w nieściśliwym przepływie. Wygląda na to, że uwzględnia dyfuzję pędu z powodu gradientów gęstości. Dwie sąsiednie paczki płynu mogą mieć tę samą prędkość, ale różny pęd, nie ma między nimi naprężenia ścinającego, ale pęd rozproszy się.

Dan

To pytanie dotyczy inżynierii. Usunąłem kilka komentarzy sugerujących inne strony dotyczące tego pytania. Częściowo z powodu prośby o zastosowanie zrozumienia równania, ale także dlatego, że jest to część mechaniki kontinuum. Pamiętaj, że możesz być trochę zazdrosny o swoją stronę

Powiązana meta dyskusja: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

Punkt o występowaniu gradientu pędu z powodu niezerowego gradientu gęstości był dobry. Dziękujemy wszystkim za odpowiedzi!

Adam O'Brien

Odpowiedzi:

Nie należy rozdzielać tych dwóch terminów w poszukiwaniu fizycznej interpretacji. Termin jest tensorem szybkości odkształcenia . Strumień pędu (lub naprężenie) wynikające z faktu, że mamy płynący płyn, jest uwzględniany przez cały termin . W równaniu NS oba terminy można traktować jako gęstości sił (siła na jednostkę objętości). Masz rację, że drugi termin to zero dla przepływów nieściśliwych (patrz tutaj ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

AKTUALIZACJA: Całkowite wyprowadzenie tensora szybkości odkształcenia jest złożone i może być tutaj poza zakresem. Jeśli jesteś zainteresowany, odkryłem, że dobrym źródłem jest Wprowadzenie do mechaniki płynów autorstwa Whitakera. Pokrótce, przyjmijmy, że tensor reprezentuje prędkość odkształcenia i bryłę jak ruch obrotowy. Każdy tensor można rozłożyć w następujący sposób: $\nabla \vec{u}$ Pierwszy termin jest zwykle nazywany tensorem szybkości odkształcenia, jest symetryczny i można wykazać, że nie obejmuje on sztywnego ruchu obrotowego. Drugi termin jest zwykle nazywany tensorem wirowym, jest skośny symetryczny i można wykazać, że nie przyczynia się on do szybkości odkształcenia i reprezentuje sztywność jak ruch obrotowy.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

Salomon Turgman
źródło

To właśnie znalazłem, patrząc na to, ale starałem się znaleźć coś w rodzaju pochodnej tensora szybkości odkształceń przed podjęciem odpowiedzi, aby zrozumieć, dlaczego zawiera ona macierz regularną i transponującą.

Trevor Archibald

Dziękuję, przeszedłem przez wyprowadzenie tensora szybkości odkształcenia z geometrii, jak zasugerowałeś, a to bardzo mi pomogło.

Adam O'Brien

Zgadzam się z @sturgman, że nie należy patrzeć na poszczególne części, ale starać się zrozumieć to w kontekście ints.

Patrząc na bardzo podstawową wersję równania Naviera-Stokesa (za pomocą Notacji Einsteina ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Część podbramowaną w oryginale można przepisać.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Który prowadzi do:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

W notacji symbolicznej powinno to wyglądać następująco:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

rul30
źródło

Przepraszam :-( To nie był mój zamiar.

Peter - Przywróć Monikę