Dlaczego możemy pominąć bezwładność (ale nie lepkość) w Navier-Stokesa przy niskim przepływie i wysokiej lepkości?

8

Dlaczego możemy pominąć bezwładność (ale nie lepkość) w Navier-Stokesa przy niskim przepływie i wysokiej lepkości?

Ukończ Navier-Stokes: ρDvDt=ρgP+μ2v

Termin inercyjny: .DvDt=vt+vxvx+vyvy+vzvz

A ponieważ zakładamy, że przepływ stacjonarny i niski wskaźnik: . Wynika z tego, że inercyjny termin można zignorować.vt=0,vx0,vy0,vz0

Jednak w moim materiale stwierdzono również, że będzie dominującym terminem w tych okolicznościach. Dlaczego nie będzie tak, że również?2 v2 vμ2v2v2vx20,2vy20,2vz20μ2v0

Raoul
źródło
Czy możesz zacytować książkę / dokument / itp. które spowodowało to roszczenie? Pomoże to spojrzeć na to w kontekście.
Carlton,
Podręcznik jest „Podstawy pędu, ciepła i transferu masy” autorstwa Welty'ego, Rorrera i Fostera. Niestety jest to problem w dokumencie problemowym w języku szwedzkim, więc nie jestem pewien, czy będzie to bardzo pomocne.
Raoul,
Mam czwarte wydanie tej książki (wersja angielska). Spojrzę i zobaczę, czy wyjaśnią więcej.
Carlton,
Jest to dość znaczący błąd / pomyłka w stwierdzeniu i rozumiem twoje zamieszanie dotyczące drugich pochodnych! Jeśli problem z praktyką jest spowodowany przez TA / profesora (profesorów), powinien naprawdę zapoznać się z podstawami mechaniki płynów ...βuα0
nluigi
@nluigi Nie wiem, skąd bierzesz z pytania OP, ani nawet co to wyrażenie oznacza. Co to są i i jaka jest różnica wrt? β αβuα0βα
Asad Saeeduddin

Odpowiedzi:

4

Zwykle tym, co implikuje niski przepływ i wysoka lepkość, jest to, że mamy do czynienia z tak zwanym przepływem o niskiej liczbie Reynoldsa. Liczba Reynoldsa jest liczbą bezwymiarową, która jest stosunkiem sił bezwładności ( ) i siły lepkości ( ): Dla niskich dominują siły lepkości (reżim laminarny), a dla wysokich dominują siły bezwładności (reżim turbulentny). Bezwymiarowa liczba jak R eμ U / L R e = ρ U UρUUμU/L ReRe

Re=ρUUμU/L=ρULμ
ReReRepokazują się naturalnie w procesie znanym jako „skalowanie”, w którym równania stają się niewymiarowe; dzięki temu procesowi można następnie stwierdzić, które terminy są nieistotne na podstawie wartości odpowiednich liczb bezwymiarowych. Aby uzyskać więcej informacji, sprawdź moją odpowiedź na to pytanie.

Technicznie rzecz biorąc, powiedzenie „niski przepływ i wysoka lepkość” nie jest wystarczające, aby powiedzieć, że mamy do czynienia z niskim przepływem ponieważ zależy on również od skali długości (zwykle średnicy rury itp.) I gęstości ( powietrza lub wody), ale zwykle sugeruje się, że tak jest. L ρReLρ

Mówiąc teraz o niskim natężeniu przepływu, że jest niepoprawny; prawdopodobnie masz na myśli to, że . Uzasadnia to uproszczenie równań, mówiąc, że co fizycznie oznacza, że ​​warunki bezwładnościowe są całkowicie pomijalne w porównaniu do warunków lepkich. nie oznacza a raczej niski przepływ wskazuje na podczas gdy może być znaczący. Rozważ oszacowanie rzędu wielkości dlau β β u αμ 2 β u α u β β u α0 u β β u α0 β u α0 u β0 β u α β u αU / L L R e Oβuα0uββuαμβ2uαuββuα0uββuα0βuα0uβ0βuαβuαU/L; dla małych wartości (przyczynia się do niskiego ) może być znacznie większy niż rząd . Podobna analiza rzędu lepkości składników pokazuje, że będą one jeszcze bardziej znaczące. Stąd powód, dla którego składniki bezwładnościowe są nieistotne, a składniki lepkie nie.LReO(U)β2uαU/L2

nluigi
źródło
2

Ponieważ ostatni termin jest proporcjonalny do , a nie, termin może być duży, nawet jeśli wielkość prędkości jest niewielka. Rozważ prosty przypadek antypoślizgowego przepływu laminarnego w rurze zorientowanej na X. Jest to przepływ jednokierunkowy, więc możemy odrzucić i i skupić się na . Weźmiemy pod uwagę, że prędkość przepływu jest niewielka.2v|v|vwu

uuu

2)v={-|2)u|,0,0}

Asad Saeeduddin
źródło