Nieoczekiwane wyniki z mojej funkcji przesyłania

Mam system, który można modelować za pomocą następującego obrazu:

Jest masa $m$ połączona ze sprężyną $k$ i deską rozdzielczą $d$ . Oba są połączone z innym dashpot $c$ . Siła $F(t)$ jest przykładana na skrzyżowaniu.

Po pewnym wysiłku związanym z systemem liniowych ODE znalazłem funkcję przenoszenia opisującą ten system:

\frac{X (s)}{F (s)} = \frac{d s + k}{(m c + m d) s^{3} + (m k + c d) s^{2} + (c k) s}

$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{ds + k}{(mc + md)s^3 + (mk + cd)s^2 + (ck)s}$

Jestem prawie pewien, że jest to poprawne, biorąc pod uwagę, że sprawdziłem matematykę wiele razy (i jednostki sprawdzają się, co zawsze jest plusem).

System ma pewne parametry: , , Hz. $m = 1$ $Q = 20$ $\omega = 50$

$k = m(2\pi\omega) = 98696$ $d = \frac{sqrt(mk)}{Q} = 15.7$

$c = 4$

Biorąc pod uwagę te parametry, oczekuję:

Odpowiedź impulsowa, która asymptotycznie zbliża się do wartości.
Odpowiedź krokowa, która rośnie bez ograniczeń.
Wykres Bode'a, który ma pik przy około 50 Hz.

Pierwsze dwa są prawdziwe, ale tak właśnie wygląda moja fabuła Bode :

$F(t)$ $\omega$

Czy jest coś, co modeluję tutaj niepoprawnie? Czy jest jakieś poważne nieporozumienie dotyczące sposobu, w jaki myślę, że ten system działa?

control-engineering dynamics transfer-function anonimowa
źródło

Y

$Y$

c

$c$

F

$F$

F

$F$

c

$c$

ω

$\omega$

Y

$Y$

Odpowiedzi:

Sprawdzanie jednostek to doskonały sposób na podwójne sprawdzenie pracy; chwała za to. Jednak następnym krokiem w sprawdzeniu, czy wyniki mają sens, jest sprawdzenie limitów. W twoim przypadku możesz użyć intuicji fizycznej, aby zidentyfikować, jak system działałby przy bardzo niskich częstotliwościach i jak działałby bez tłumienia.

$s\rightarrow0$ $\frac{X(s)}{Y(s)}\rightarrow1$ $c\rightarrow0$ $d\rightarrow0$

\frac{X (s)}{F (s)} \to \frac{1}{m s^{2}},

$\frac{X(s)}{F(s)}\rightarrow\frac{1}{ms^2},$

\frac{k}{m s^{2} + k} .

$\frac{k}{ms^2 + k}.$

Chris Mueller
źródło

c

$c$

d

$d$

\frac{1}{m s^{2}}

$\frac{1}{ms^2}$

s

$s$

lim_{s \to 0} \frac{1}{s} = \infty

$\lim_{s\rightarrow0}\frac{1}{s}=\infty$

\frac{1}{m s^{2}}

$\frac{1}{ms^2}$

Funkcja przenoszenia wydaje się prawidłowa, z tym wyjątkiem, że odchylenia xiy od nierozciągniętych lokalizacji, a nie jak pokazano na rysunku. W przeciwnym razie, gdy wówczas nie ma miejsca na sprężynę i tłumik . $y=x$ $k$ $d$

Trzeba to zrównać

\frac{1}{c m + d m} \frac{d s + k}{s} \frac{1}{s^{2} + \frac{s w}{Q} + w^{2}}

$\frac{1}{c m+d m}\frac{d s+k}{s}\frac{1}{s^2+\frac{s w}{Q}+w^2}$

Porównując warunki otrzymujemy następujące dwa równania

w^{2} = \frac{c k}{c m + d m}

$w^2=\frac{c k}{c m+d m}$

\frac{w}{Q} = \frac{c d + k m}{c m + d m}

$\frac{w}{Q}=\frac{c d+k m}{c m+d m}$

Istnieje 6 zmiennych ( , , , , , ), z których 3 są znane ( , , ). To pozostawia nam 2 równania i trzy niewiadome, a zatem istnieje wiele rozwiązań. $m$ $k$ $d$ $c$ $Q$ $w$ $m$ $Q$ $w$

Zauważyłem tylko, że i mają przeciwne znaki. Jest to trochę dziwne, ponieważ oznacza, że lub musi mieć znak ujemny! (Poniżej znajduje się zrzut ekranu obliczeń w Mathematica.) $c$ $d$ $c$ $d$

Jeśli zero prawie anuluje biegun na początku. To był dodatkowy warunek, którego użyłem, aby dojść do następujących wartości $k << d$

c = \frac{5 π (1 + \sqrt{16000000000 π^{2} - 1599})}{2 - 20000000 π^{2}}

$c=\frac{5 \pi \left(1+\sqrt{16000000000 \pi ^2-1599}\right)}{2-20000000 \pi ^2}$

d = \frac{1 + \sqrt{16000000000 π^{2} - 1599}}{4000000 π}

$d=\frac{1+\sqrt{16000000000 \pi ^2-1599}}{4000000 \pi }$

k = \frac{1}{1000}

$k=\frac{1}{1000}$

To jest wykres Bode'a z pikiem zgodnie z oczekiwaniami przy ~ lub . $314 rad/s$ $50 Hz$

Suba Thomas
źródło

Dziękuję za odpowiedź. Mam dwa pytania. Po pierwsze, czy ma znaczenie to, że sprężyna i tłumik mają zerową długość, gdy ? Czy nie można zakładać, że nierozciągnięta długość sprężyny jest znacznie mniejsza niż charakterystyczne długości i ? Po drugie, podążyłem za twoją analizą i wydaje się to mieć sens, ale jest ujemne. Chociaż to zdecydowanie tworzy wykres Bode, którego chcę, wydaje się naprawdę niefizyczny - tłumik zapewni siłę, aby zwiększyć . Spróbuję jednak wartości w mojej symulacji, aby zobaczyć, jakie są odpowiedzi impulsowe i krokowe.

y = x

$y = x$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

c

$c$

c

$c$

\dot{y}

$\dot{y}$

anonimowy

SSS, fizyczna sprężyna lub amortyzator nie mogą mieć zerowej długości. Jest to model funkcji przenoszenia, nic nie stoi na przeszkodzie, aby xiy były równe, więc musimy tylko upewnić się, co to fizycznie oznacza w tym kontekście. Mogę dodać odpowiedź i impuls do odpowiedzi, jeśli chcesz, żebym to zrobił. Odpowiedź impulsowa zbiega się do zera, a odpowiedź krokowa rośnie bez ograniczeń.

Suba Thomas

Hm, nie jestem pewien, czy takiej odpowiedzi impulsowej oczekuję od tego systemu. Jeśli podam siłę impulsu , spodziewam się, że wzrośnie i ostatecznie zostanie stłumiony przez , i spodziewam się, że wielkość może doświadczyć pewnych oscylacji z powodu sprężyny. W sumie myślę, że odpowiedź impulsowa powinna zbiegać się do pewnej niezerowej wartości (a odpowiedź krokowa powinna rosnąć bez ograniczeń). W rzeczywistości jest to system, który próbuję scharakteryzować, więc czy uważasz, że potrzebuję zmiany w moim rzeczywistym modelu, aby to odzwierciedlić?

F = δ

$F = \delta$

y

$y$

c

$c$

x - y

$x - y$

anonimowy

Aby to wyjaśnić dalej, układ, który próbuję scharakteryzować, to taki, który w skali makro porusza się jak układ tłumika masy, w którym siła impulsu przesunie go na pewną odległość, ale ostatecznie musi się zatrzymać . W skali mikro istnieje pewna częstotliwość rezonansowa tak że jeśli spróbuję zmusić system do poruszania się z tą częstotliwością, doświadczę dzikich oscylacji o wysokiej amplitudzie. Dlatego ustawiłem system jako tłumik masowo sprężynowy po prawej, ale z tłumikiem „wyższego poziomu” po lewej.

f

$f$

anonimowy

Mój zła, odpowiedź impulsowa w stanie ustalonym jest w rzeczywistości niezerową wartością ujemną.

Suba Thomas