Wyprowadzanie turbulentnego równania energii kinetycznej

6

Próbuję zrozumieć wyprowadzenie turbulentnego równania energii kinetycznej, jak opisano w tym linku: Ocena modeli turbulencji RANS dla problemów z przepływem ze znaczącym wpływem warstw granicznych .

Jestem w stanie przejść do równania 2.26 na slajdzie 11 (tj. Stronie 9), który stwierdza

ρuitui¯+ρ(ujuixjui¯u¯juixju¯i)=pxjui¯+νui2ui¯+ρ(uiuj¯)xju¯i,

gdzie górne pręty oznaczają średnie zespolone ilości pod prętami. Zauważ, że tutaj średnia produktu niekoniecznie jest równa iloczynowi średniej każdego terminu.

Zgodnie z linkiem, używając tylko reguł uśredniania, termin

(ujuixjui¯u¯juixju¯i)

można go uprościć

uiuixj¯u¯j+uixjuiuj¯+uixjuj¯u¯i+ujui¯uixj.

Jeśli zastąpię to bezpośrednio poprzednim równaniem, otrzymam

ρ(uitui¯+uiuixj¯u¯j+uixjuiuj¯+uixjuj¯u¯imy 4th term+ujui¯uixj)=pxjui¯+νui2ui¯+ρ(uiuj¯)xju¯i.

Jednak ich pochodne dają

ρ(uitui¯+uiuixj¯u¯j+uixjuiuj¯+uiujxj¯u¯itheir 4th term+ujui¯uixj)=pxjui¯+νui2ui¯+ρ(uiuj¯)xju¯i.

Jedyną różnicą między moimi pochodnymi a ich pochodnymi jest czwarty człon po lewej stronie równania. Jestem pewien, że ich czwarty termin jest poprawny, ponieważ ma on zostać anulowany terminem po prawej stronie równania. Jednak nie wydaje mi się, aby dowiedzieć się, w jaki sposób uzyskali czwarty człon na LHS równania. Link sugeruje, że w grę wchodzą reguła łańcucha i założenie o braku kompresji, ale nie jestem pewien, jak to zrobić.

W szczególności termin overbar jest traktowany jako pojedynczy termin. Jak zatem zastosować regułę łańcucha do ? uiuj¯(uiuj¯)xj

Będziemy wdzięczni za wszelkie wskazówki dotyczące uzupełnienia brakujących kroków.

Paweł
źródło

Odpowiedzi:

5

Te dwa warunki są równe ze względu na regułę produktu i równanie ciągłości. Zastosowanie równania ciągłości może jednak nie być oczywiste.

W ich zapisie rozkład Reynoldsa to . Biorąc równanie ciągłości i uśrednianie prowadzi do:ui=u¯i+ui

u¯jxj=0

Odejmij powyższe równanie od nie uśrednionego równania ciągłości, aby zobaczyć, że fluktuacje również są wolne od dywergencji:

ujxj=0

Teraz zastosuj regułę produktu do okresu zainteresowania (przed uśrednieniem):

uiujxj=ujuixj+uiujxj

Drugi człon jest zerowy według ciągłości, jak pokazano powyżej, i to uzupełnia wyprowadzenie. Średnie dojazdy, więc średnia pochodnej jest taka sama jak pochodna średniej.

Ben Trettel
źródło
1
Określenie „reguła łańcuchowa” tutaj wprowadza w błąd ... Reguła dotycząca produktu jest tym, co naprawdę jest stosowane, a nie reguła łańcuchowa.
Paul
Tak, masz rację. Myślałem o tym, co zasugerowałeś, ale ostatecznie zrobiłem coś innego. Poprawiłem odpowiedź. Dzięki.
Ben Trettel,