Jak działa ten zaciemniony kod Haskella?

Czytając https://en.uncyclopedia.co/wiki/Haskell (i ignorując wszystkie „obraźliwe” rzeczy), natknąłem się na następujący fragment zaciemnionego kodu:

fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1

Kiedy uruchamiam ten fragment kodu w ghci(po zaimportowaniu Data.Functioni Control.Applicative), ghciwyświetla listę wszystkich potęg 2.

Jak działa ten fragment kodu?

Na początek mamy cudowną definicję

x = 1 : map (2*) x

co samo w sobie jest nieco zagmatwane, jeśli nigdy wcześniej go nie widziałeś. W każdym razie jest to dość standardowa sztuczka lenistwa i rekurencji. Teraz pozbędziemy się jawnej rekurencji przy użyciu fixi ify bez punktów.

x = fix (\vs -> 1 : map (2*) vs)
x = fix ((1:) . map (2*))

Następną rzeczą, którą zamierzamy zrobić, jest rozszerzenie :sekcji i mapniepotrzebnie skomplikowane.

x = fix ((:) 1 . (map . (*) . (*2)) 1)

Cóż, teraz mamy dwie kopie tej stałej 1. To nigdy się nie uda, więc użyjemy aplikacji czytnika, aby to zduplikować. Również kompozycja funkcji to trochę bzdura, więc zastąpmy to (<$>)gdziekolwiek się da.

x = fix (liftA2 (.) (:) (map . (*) . (*2)) 1)
x = fix (((.) <$> (:) <*> (map . (*) . (*2))) 1)
x = fix (((<$>) <$> (:) <*> (map <$> (*) <$> (*2))) 1)

Dalej: to wezwanie mapjest zbyt czytelne. Ale nie ma się czego bać: możemy wykorzystać prawa monady, aby ją nieco rozszerzyć. W szczególności fmap f x = x >>= return . ftzw

map f x = x >>= return . f
map f x = ((:[]) <$> f) =<< x

Możemy wskazać-free-IFY wymienić (.)z (<$>), a następnie dodać kilka odcinków fałszywe:

map = (=<<) . ((:[]) <$>)
map = (=<<) <$> ((:[]) <$>)
map = (<$> ((:[]) <$>)) (=<<)

Zastępując to równanie w naszym poprzednim kroku:

x = fix (((<$>) <$> (:) <*> ((<$> ((:[]) <$>)) (=<<) <$> (*) <$> (*2))) 1)

Na koniec łamiesz spację i tworzysz wspaniałe końcowe równanie

x=fix(((<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2)))1)

Pisałem długą odpowiedź z pełnym przebiegiem moich dzienników IRC z eksperymentów prowadzących do ostatecznego kodu (to było na początku 2008 roku), ale przypadkowo cały tekst :) Jednak nie tak duża strata - dla w większości analizy Daniela są trafne.

Oto, od czego zacząłem:

Jan 25 23:47:23 <olsner>        @pl let q = 2 : map (2*) q in q
Jan 25 23:47:23 <lambdabot>     fix ((2 :) . map (2 *))

Różnice sprowadzają się głównie do kolejności przeprowadzania refaktoryzacji.

• Zamiast tego x = 1 : map (2*) xzacząłem od 2 : map ...i zachowałem te początkowe 2 aż do ostatniej wersji, w której wcisnąłem a (*2)i zmieniłem $2na końcu na $1. Krok „uczyń mapę niepotrzebnie złożoną” nie nastąpił (tak wcześnie).
• Użyłem liftM2 zamiast liftA2
• Funkcja zaciemniona mapzostała wprowadzona przed zastąpieniem liftM2 kombinatorami Applicative. Wtedy też zniknęły wszystkie przestrzenie.
• Nawet moja „ostateczna” wersja miała jeszcze wiele .funkcji do komponowania. Zastąpienie tych wszystkich <$>najwyraźniej wydarzyło się jakiś czas w miesiącach między tym a niecyklopedią.

Przy okazji, oto zaktualizowana wersja, która nie wymienia już numeru 2:

fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- Jörð -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(>>=)(+)($))$1

Obie odpowiedzi wywodzą zaciemniony fragment kodu z krótkiego oryginału podanego nieoczekiwanie, ale pytanie w rzeczywistości dotyczy tego, w jaki sposób długi zaciemniony kod wykonuje swoją pracę.

Oto jak:

fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1 
= {- add spaces, remove comment -}
fix $ (<$>) <$> (:) <*> ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<)  <$>  (*)  <$>  (*2) ) $ 1 
--                      \__\______________/_____________________________/
= {-    A   <$> B   <*> C                          $ x   =   A (B x) (C x) -}
fix $ (<$>) (1 :)     ( ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<)  <$>  (*)  <$>  (*2) ) 1 )
--                      \__\______________/____________________________/
= {- op f g = (f `op` g) ; (`op` g) f = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$>  ( (((=<<) <$> ((:[]) <$>) )        <$>  (*)  <$>  (*2) ) 1 )
--                  \\____________________/____________________________/
= {- <$> is left associative anyway -}
fix $ (1 :) <$>  ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>)          <$>  (*)  <$>  (*2) ) 1 )
--                  \__________________________________________________/
= {- A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$>  ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>)           .   (*)   .   (*2) ) 1 )
--                  \__________________________________________________/
= {- ((:[]) <$>) = (<$>) (:[]) = fmap (:[])  is a function -}
fix $ (1 :) <$>  ( ( (=<<)  .  ((:[]) <$>)           .   (*)   .   (*2) ) 1 )
--                  \__________________________________________________/
= {- (a . b . c . d) x = a (b (c (d x))) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (  ((:[]) <$>)           (   (*)   (   (*2)   1 )))
= {- (`op` y) x = (x `op` y) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (  ((:[]) <$>)           (   (*)   2             ))
= {- op x = (x `op`) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (  ((:[]) <$>)              (2*)                  )
= {-  (f `op`) g = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (   (:[]) <$>               (2*)                  )
= {-  A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (   (:[])  .                (2*)                  )
= {-  (f . g) = (\ x -> f (g x)) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (\ x -> [2*x]  )
= {- op f = (f `op`)  -}
fix $ (1 :) <$>           ( (\ x -> [2*x]  )  =<<)

Oto ( (\ x -> [2*x]) =<<) = (>>= (\ x -> [2*x])) = concatMap (\ x -> [2*x]) = map (2*)funkcja, więc znowu <$> = .:

= 
fix $ (1 :)  .  map (2*)
= {- substitute the definition of fix -}
let xs = (1 :) . map (2*) $ xs in xs
=
let xs = 1 : [ 2*x | x <- xs] in xs
= {- xs = 1 : ys -}
let ys =     [ 2*x | x <- 1:ys] in 1:ys
= {- ys = 2 : zs -}
let zs =     [ 2*x | x <- 2:zs] in 1:2:zs
= {- zs = 4 : ws -}
let ws =     [ 2*x | x <- 4:ws] in 1:2:4:ws
=
iterate (2*) 1
= 
[2^n | n <- [0..]]

są wszystkie potęgi 2 , w porządku rosnącym.

To używa

• A <$> B <*> C $ x = liftA2 A B C xa ponieważ liftA2 A B Cjest stosowany do xswojej funkcji, to oznacza jako funkcję liftA2 A B C x = A (B x) (C x).
• (f `op` g) = op f g = (f `op`) g = (`op` g) f są trzema prawami sekcji operatora

• >>=jest monadycznym wiązaniem, a ponieważ (`op` g) f = op f gi typy są

  (>>=)                :: Monad m => m a -> (a -> m b ) -> m b
  (\ x -> [2*x])       :: Num t   =>         t -> [ t]
  (>>= (\ x -> [2*x])) :: Num t   => [ t]               -> [ t]
  

  według zastosowania typu i podstawienia widzimy, że dana monada jest []dla której (>>= g) = concatMap g.

• concatMap (\ x -> [2*x]) xs jest uproszczony jako

  concat $ map (\ x -> [2*x]) 
  =
  concat $ [ [2*x] | x <- xs]
  =
           [  2*x  | x <- xs]
  =
           map (\ x ->  2*x )
  

• iz definicji

  (f . g) x  =  f (g x)
  
  fix f  =  let x = f x in x
  
  iterate f x  =  x : iterate f (f x)
               =  x : let y = f x in 
                      y : iterate f (f y)
               =  x : let y = f x in 
                      y : let z = f y in 
                          z : iterate f (f z)
               = ...
               = [ (f^n) x | n <- [0..]]
  

  gdzie

          f^n  =  f  .  f  .  ...  . f
          --     \_____n_times _______/
  

  po to aby

  ((2*)^n) 1  =  ((2*) . (2*) .  ...  . (2*)) 1
              =    2*  (  2*  (  ...  (  2*   1 )...)) 
              =    2^n   ,  for n in [0..]