Znajdź k-ty najmniejszy element w drzewie wyszukiwania binarnego w Optymalny sposób

Muszę znaleźć k-ty najmniejszy element w drzewie wyszukiwania binarnego bez użycia zmiennej statycznej / globalnej. Jak to skutecznie osiągnąć? Rozwiązaniem, które mam na myśli, jest wykonanie operacji w O (n), najgorszym przypadku, ponieważ planuję wykonać wewnętrzne przejście całego drzewa. Ale w głębi duszy czuję, że nie używam tutaj właściwości BST. Czy moje założenie jest poprawne, czy jest dostępne lepsze?

Oto tylko zarys pomysłu:

W BST lewe poddrzewo węzła Tzawiera tylko elementy mniejsze niż wartość przechowywana w T. Jeśli kjest mniejsza niż liczba elementów w lewym poddrzewie, to knajmniejszy element musi należeć do lewego poddrzewa. W przeciwnym razie, jeśli kjest większy, to knajmniejszy element znajduje się w prawym poddrzewie.

Możemy rozszerzyć BST, aby każdy węzeł w nim przechował liczbę elementów w swoim lewym poddrzewie (załóżmy, że lewe poddrzewo danego węzła zawiera ten węzeł). Dzięki tej informacji łatwo jest przejść przez drzewo, wielokrotnie prosząc o liczbę elementów w lewym poddrzewie, aby zdecydować, czy powtórzyć w lewym, czy prawym poddrzewie.

Teraz załóżmy, że jesteśmy w węźle T:

1. Jeśli k == liczba_elementów (lewe poddrzewo T) , wówczas szukaną odpowiedzią jest wartość w węźle T.
2. Jeśli k> liczba_elementów (lewe poddrzewo T) , to oczywiście możemy zignorować lewe poddrzewo, ponieważ te elementy będą również mniejsze niż to knajmniejsze. Tak więc sprowadzamy problem do znalezienia k - num_elements(left subtree of T)najmniejszego elementu odpowiedniego poddrzewa.
3. Jeśli k <liczba_elementów (lewe poddrzewo T) , to knajmniejsze znajduje się gdzieś w lewym poddrzewie, więc sprowadzamy problem do znalezienia ktego najmniejszego elementu w lewym poddrzewie.

Analiza złożoności:

To wymaga O(depth of node)czasu, co O(log n)w najgorszym przypadku ma miejsce na zrównoważonym BST lub O(log n)średnio w przypadku losowego BST.

BST wymaga O(n)pamięci, a inny O(n)do przechowywania informacji o liczbie elementów. Wszystkie operacje BST wymagają O(depth of node)czasu, a O(depth of node)utrzymanie informacji o liczbie elementów do wstawienia, usunięcia lub obrotu węzłów zajmuje więcej czasu. Dlatego przechowywanie informacji o liczbie elementów w lewym poddrzewie zachowuje złożoność przestrzenną i czasową BST.

Prostszym rozwiązaniem byłoby wykonanie przejścia w kolejności i śledzenie aktualnie drukowanego elementu (bez jego drukowania). Kiedy osiągniemy k, wypisz element i pomiń resztę przechodzenia po drzewie.

void findK(Node* p, int* k) {
  if(!p || k < 0) return;
  findK(p->left, k);
  --k;
  if(k == 0) { 
    print p->data;
    return;  
  } 
  findK(p->right, k); 
}

public int ReturnKthSmallestElement1(int k)
    {
        Node node = Root;

        int count = k;

        int sizeOfLeftSubtree = 0;

        while(node != null)
        {

            sizeOfLeftSubtree = node.SizeOfLeftSubtree();

            if (sizeOfLeftSubtree + 1 == count)
                return node.Value;
            else if (sizeOfLeftSubtree < count)
            {
                node = node.Right;
                count -= sizeOfLeftSubtree+1;
            }
            else
            {
                node = node.Left;
            }
        }

        return -1;
    }

to jest moja implementacja w C # w oparciu o powyższy algorytm, po prostu pomyślałem, że opublikuję go, aby ludzie mogli lepiej zrozumieć, że działa dla mnie

dziękuję IVlad

Prostszym rozwiązaniem byłoby wykonanie przejścia w kolejności i śledzenie aktualnie drukowanego elementu za pomocą licznika k. Kiedy osiągniemy k, wydrukuj element. Środowisko wykonawcze to O (n). Pamiętaj, że zwracany typ funkcji nie może być void, musi zwracać zaktualizowaną wartość k po każdym wywołaniu rekurencyjnym. Lepszym rozwiązaniem byłby rozszerzony BST z posortowaną wartością pozycji w każdym węźle.

public static int kthSmallest (Node pivot, int k){
    if(pivot == null )
        return k;   
    k = kthSmallest(pivot.left, k);
    k--;
    if(k == 0){
        System.out.println(pivot.value);
    }
    k = kthSmallest(pivot.right, k);
    return k;
}

// dodaj wersję java bez rekursji

public static <T> void find(TreeNode<T> node, int num){
    Stack<TreeNode<T>> stack = new Stack<TreeNode<T>>();

    TreeNode<T> current = node;
    int tmp = num;

    while(stack.size() > 0 || current!=null){
        if(current!= null){
            stack.add(current);
            current = current.getLeft();
        }else{
            current = stack.pop();
            tmp--;

            if(tmp == 0){
                System.out.println(current.getValue());
                return;
            }

            current = current.getRight();
        }
    }
}

Możesz użyć iteracyjnego przechodzenia w kolejności: http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Iterative_Traversal z prostym sprawdzeniem k-tego elementu po wyjęciu węzła ze stosu.

Biorąc pod uwagę tylko zwykłe drzewo wyszukiwania binarnego, prawie wszystko, co możesz zrobić, to zacząć od najmniejszego i przejść w górę, aby znaleźć właściwy węzeł.

Jeśli masz zamiar robić to bardzo często, możesz dodać atrybut do każdego węzła oznaczający, ile węzłów znajduje się w jego lewym poddrzewie. Używając tego, możesz zejść z drzewa bezpośrednio do właściwego węzła.

Rekurencyjny spacer w kolejności z licznikiem

Time Complexity: O( N ), N is the number of nodes
Space Complexity: O( 1 ), excluding the function call stack

Pomysł jest podobny do rozwiązania @prasadvk, ale ma pewne wady (patrz uwagi poniżej), więc zamieszczam to jako osobną odpowiedź.

// Private Helper Macro
#define testAndReturn( k, counter, result )                         \
    do { if( (counter == k) && (result == -1) ) {                   \
        result = pn->key_;                                          \
        return;                                                     \
    } } while( 0 )

// Private Helper Function
static void findKthSmallest(
    BstNode const * pn, int const k, int & counter, int & result ) {

    if( ! pn ) return;

    findKthSmallest( pn->left_, k, counter, result );
    testAndReturn( k, counter, result );

    counter += 1;
    testAndReturn( k, counter, result );

    findKthSmallest( pn->right_, k, counter, result );
    testAndReturn( k, counter, result );
}

// Public API function
void findKthSmallest( Bst const * pt, int const k ) {
    int counter = 0;
    int result = -1;        // -1 := not found
    findKthSmallest( pt->root_, k, counter, result );
    printf("%d-th element: element = %d\n", k, result );
}

Uwagi (i różnice w stosunku do rozwiązania @ prasadvk):

1. if( counter == k )test jest wymagany w trzech miejscach: (a) za lewym poddrzewem, (b) za korzeniem i (c) po prawym poddrzewie. Ma to na celu zapewnienie, że k-ty element zostanie wykryty we wszystkich lokalizacjach , tj. Niezależnie od poddrzewa, w którym się znajduje.

2. if( result == -1 )wymagany jest test, aby upewnić się, że drukowany jest tylko element wynikowy , w przeciwnym razie drukowane są wszystkie elementy, począwszy od k-tego najmniejszego do korzenia.

Za nie wynosi przeszukiwania drzewa, zajmuje O (n) .

W przypadku zrównoważonego drzewa wyszukiwania, w najgorszym przypadku wymaga O (k + log n), ale tylko O (k) w amortyzacji sensie.

Posiadanie dodatkowej liczby całkowitej dla każdego węzła i zarządzanie nią: rozmiar poddrzewa daje O (log n) złożoność czasową . Takie zrównoważone drzewo wyszukiwania jest zwykle nazywane RankTree.

Ogólnie rzecz biorąc, istnieją rozwiązania (nie oparte na drzewie).

Pozdrowienia.

Działa to dobrze: status: to tablica przechowująca informację o znalezieniu elementu. k: to k-ty element do znalezienia. count: śledzi liczbę węzłów pokonanych podczas przechodzenia przez drzewo.

int kth(struct tree* node, int* status, int k, int count)
{
    if (!node) return count;
    count = kth(node->lft, status, k, count);  
    if( status[1] ) return status[0];
    if (count == k) { 
        status[0] = node->val;
        status[1] = 1;
        return status[0];
    }
    count = kth(node->rgt, status, k, count+1);
    if( status[1] ) return status[0];
    return count;
}

Chociaż zdecydowanie nie jest to optymalne rozwiązanie problemu, jest to kolejne potencjalne rozwiązanie, które moim zdaniem może być interesujące dla niektórych osób:

/**
 * Treat the bst as a sorted list in descending order and find the element 
 * in position k.
 *
 * Time complexity BigO ( n^2 )
 *
 * 2n + sum( 1 * n/2 + 2 * n/4 + ... ( 2^n-1) * n/n ) = 
 * 2n + sigma a=1 to n ( (2^(a-1)) * n / 2^a ) = 2n + n(n-1)/4
 *
 * @param t The root of the binary search tree.
 * @param k The position of the element to find.
 * @return The value of the element at position k.
 */
public static int kElement2( Node t, int k ) {
    int treeSize = sizeOfTree( t );

    return kElement2( t, k, treeSize, 0 ).intValue();
}

/**
 * Find the value at position k in the bst by doing an in-order traversal 
 * of the tree and mapping the ascending order index to the descending order 
 * index.
 *
 *
 * @param t Root of the bst to search in.
 * @param k Index of the element being searched for.
 * @param treeSize Size of the entire bst.
 * @param count The number of node already visited.
 * @return Either the value of the kth node, or Double.POSITIVE_INFINITY if 
 *         not found in this sub-tree.
 */
private static Double kElement2( Node t, int k, int treeSize, int count ) {
    // Double.POSITIVE_INFINITY is a marker value indicating that the kth 
    // element wasn't found in this sub-tree.
    if ( t == null )
        return Double.POSITIVE_INFINITY;

    Double kea = kElement2( t.getLeftSon(), k, treeSize, count );

    if ( kea != Double.POSITIVE_INFINITY )
        return kea;

    // The index of the current node.
    count += 1 + sizeOfTree( t.getLeftSon() );

    // Given any index from the ascending in order traversal of the bst, 
    // treeSize + 1 - index gives the
    // corresponding index in the descending order list.
    if ( ( treeSize + 1 - count ) == k )
        return (double)t.getNumber();

    return kElement2( t.getRightSon(), k, treeSize, count );
}

podpis:

Node * find(Node* tree, int *n, int k);

zadzwoń jako:

*n = 0;
kthNode = find(root, n, k);

definicja:

Node * find ( Node * tree, int *n, int k)
{
   Node *temp = NULL;

   if (tree->left && *n<k)
      temp = find(tree->left, n, k);

   *n++;

   if(*n==k)
      temp = root;

   if (tree->right && *n<k)
      temp = find(tree->right, n, k);

   return temp;
}

Cóż, oto moje 2 centy ...

int numBSTnodes(const Node* pNode){
     if(pNode == NULL) return 0;
     return (numBSTnodes(pNode->left)+numBSTnodes(pNode->right)+1);
}


//This function will find Kth smallest element
Node* findKthSmallestBSTelement(Node* root, int k){
     Node* pTrav = root;
     while(k > 0){
         int numNodes = numBSTnodes(pTrav->left);
         if(numNodes >= k){
              pTrav = pTrav->left;
         }
         else{
              //subtract left tree nodes and root count from 'k'
              k -= (numBSTnodes(pTrav->left) + 1);
              if(k == 0) return pTrav;
              pTrav = pTrav->right;
        }

        return NULL;
 }

To jest to, co myślałem i działa. Będzie działać za (log n)

public static int FindkThSmallestElemet(Node root, int k)
    {
        int count = 0;
        Node current = root;

        while (current != null)
        {
            count++;
            current = current.left;
        }
        current = root;

        while (current != null)
        {
            if (count == k)
                return current.data;
            else
            {
                current = current.left;
                count--;
            }
        }

        return -1;


    } // end of function FindkThSmallestElemet

Cóż, możemy po prostu użyć przemierzania kolejności i włożyć odwiedzony element na stos. pop k kilka razy, aby uzyskać odpowiedź.

możemy też zatrzymać się po k elementów

Rozwiązanie dla całego przypadku BST: -

Node kSmallest(Node root, int k) {
  int i = root.size(); // 2^height - 1, single node is height = 1;
  Node result = root;
  while (i - 1 > k) {
    i = (i-1)/2;  // size of left subtree
    if (k < i) {
      result = result.left;
    } else {
      result = result.right;
      k -= i;
    }  
  }
  return i-1==k ? result: null;
}

Jądro Linuksa ma doskonałą, powiększoną czerwono-czarną strukturę danych drzewa, która obsługuje operacje oparte na rangach w O (log n) w linux / lib / rbtree.c.

Bardzo prymitywny port Java można również znaleźć pod adresem http://code.google.com/p/refolding/source/browse/trunk/core/src/main/java/it/unibo/refolding/alg/RbTree.java , razem z RbRoot.java i RbNode.java. N-ty element można uzyskać, wywołując RbNode.nth (węzeł RbNode, int n), przekazując do korzenia drzewa.

Oto zwięzła wersja w C #, która zwraca k-ty najmniejszy element, ale wymaga przekazania k jako argumentu ref (jest to to samo podejście, co @prasadvk):

Node FindSmall(Node root, ref int k)
{
    if (root == null || k < 1)
        return null;

    Node node = FindSmall(root.LeftChild, ref k);
    if (node != null)
        return node;

    if (--k == 0)
        return node ?? root;
    return FindSmall(root.RightChild, ref k);
}

To O (log n), aby znaleźć się najmniejszą węzeł, a następnie O (K) do przejścia do k-tego węzła, tak, że to O (K + log n).

http://www.geeksforgeeks.org/archives/10379

to jest dokładna odpowiedź na to pytanie: -

1. wykorzystanie przejścia w kolejności w czasie O (n) 2. użycie drzewa rozszerzonego w czasie k + log n

Nie mogłem znaleźć lepszego algorytmu… więc zdecydowałem się go napisać :) Popraw mnie, jeśli jest źle.

class KthLargestBST{
protected static int findKthSmallest(BSTNode root,int k){//user calls this function
    int [] result=findKthSmallest(root,k,0);//I call another function inside
    return result[1];
}
private static int[] findKthSmallest(BSTNode root,int k,int count){//returns result[]2 array containing count in rval[0] and desired element in rval[1] position.
    if(root==null){
        int[]  i=new int[2];
        i[0]=-1;
        i[1]=-1;
        return i;
    }else{
        int rval[]=new int[2];
        int temp[]=new int[2];
        rval=findKthSmallest(root.leftChild,k,count);
        if(rval[0]!=-1){
            count=rval[0];
        }
        count++;
        if(count==k){
            rval[1]=root.data;
        }
        temp=findKthSmallest(root.rightChild,k,(count));
        if(temp[0]!=-1){
            count=temp[0];
        }
        if(temp[1]!=-1){
            rval[1]=temp[1];
        }
        rval[0]=count;
        return rval;
    }
}
public static void main(String args[]){
    BinarySearchTree bst=new BinarySearchTree();
    bst.insert(6);
    bst.insert(8);
    bst.insert(7);
    bst.insert(4);
    bst.insert(3);
    bst.insert(4);
    bst.insert(1);
    bst.insert(12);
    bst.insert(18);
    bst.insert(15);
    bst.insert(16);
    bst.inOrderTraversal();
    System.out.println();
    System.out.println(findKthSmallest(bst.root,11));
}

}

Oto kod java,

max (Node root, int k) - aby znaleźć k-t największy

min (Node root, int k) - aby znaleźć k-t najmniejszy

static int count(Node root){
    if(root == null)
        return 0;
    else
        return count(root.left) + count(root.right) +1;
}
static int max(Node root, int k) {
    if(root == null)
        return -1;
    int right= count(root.right);

    if(k == right+1)
        return root.data;
    else if(right < k)
        return max(root.left, k-right-1);
    else return max(root.right, k);
}

static int min(Node root, int k) {
    if (root==null)
        return -1;

    int left= count(root.left);
    if(k == left+1)
        return root.data;
    else if (left < k)
        return min(root.right, k-left-1);
    else
        return min(root.left, k);
}

to też by działało. po prostu wywołaj funkcję z maxNode w drzewie

def k_largest (self, node, k): if k <0: return None
if k == 0: return node else: k - = 1 return self.k_largest (self.predecessor (node), k)

Myślę, że jest to lepsze niż zaakceptowana odpowiedź, ponieważ nie trzeba modyfikować oryginalnego węzła drzewa, aby przechowywać liczbę jego węzłów podrzędnych.

Musimy tylko użyć przechodzenia w kolejności, aby policzyć najmniejszy węzeł od lewej do prawej, przestań szukać, gdy liczba będzie równa K.

private static int count = 0;
public static void printKthSmallestNode(Node node, int k){
    if(node == null){
        return;
    }

    if( node.getLeftNode() != null ){
        printKthSmallestNode(node.getLeftNode(), k);
    }

    count ++ ;
    if(count <= k )
        System.out.println(node.getValue() + ", count=" + count + ", k=" + k);

    if(count < k  && node.getRightNode() != null)
        printKthSmallestNode(node.getRightNode(), k);
}

Najlepsze podejście już jest, ale chciałbym dodać do tego prosty kod

int kthsmallest(treenode *q,int k){
int n = size(q->left) + 1;
if(n==k){
    return q->val;
}
if(n > k){
    return kthsmallest(q->left,k);
}
if(n < k){
    return kthsmallest(q->right,k - n);
}

}

int size(treenode *q){
if(q==NULL){
    return 0;
}
else{
    return ( size(q->left) + size(q->right) + 1 );
}}

Używanie pomocniczej klasy Result do śledzenia znalezienia węzła i bieżącego k.

public class KthSmallestElementWithAux {

public int kthsmallest(TreeNode a, int k) {
    TreeNode ans = kthsmallestRec(a, k).node;
    if (ans != null) {
        return ans.val;
    } else {
        return -1;
    }
}

private Result kthsmallestRec(TreeNode a, int k) {
    //Leaf node, do nothing and return
    if (a == null) {
        return new Result(k, null);
    }

    //Search left first
    Result leftSearch = kthsmallestRec(a.left, k);

    //We are done, no need to check right.
    if (leftSearch.node != null) {
        return leftSearch;
    }

    //Consider number of nodes found to the left
    k = leftSearch.k;

    //Check if current root is the solution before going right
    k--;
    if (k == 0) {
        return new Result(k - 1, a);
    }

    //Check right
    Result rightBalanced = kthsmallestRec(a.right, k);

    //Consider all nodes found to the right
    k = rightBalanced.k;

    if (rightBalanced.node != null) {
        return rightBalanced;
    }

    //No node found, recursion will continue at the higher level
    return new Result(k, null);

}

private class Result {
    private final int k;
    private final TreeNode node;

    Result(int max, TreeNode node) {
        this.k = max;
        this.node = node;
    }
}
}

Złożoność czasowa rozwiązania Pythona: O (n) Złożoność przestrzeni: O (1)

Pomysł polega na użyciu Morris Inorder Traversal

class Solution(object):
def inorderTraversal(self, current , k ):
    while(current is not None):    #This Means we have reached Right Most Node i.e end of LDR traversal

        if(current.left is not None):  #If Left Exists traverse Left First
            pre = current.left   #Goal is to find the node which will be just before the current node i.e predecessor of current node, let's say current is D in LDR goal is to find L here
            while(pre.right is not None and pre.right != current ): #Find predecesor here
                pre = pre.right
            if(pre.right is None):  #In this case predecessor is found , now link this predecessor to current so that there is a path and current is not lost
                pre.right = current
                current = current.left
            else:                   #This means we have traverse all nodes left to current so in LDR traversal of L is done
                k -= 1
                if(k == 0):
                    return current.val
                pre.right = None       #Remove the link tree restored to original here 
                current = current.right
        else:               #In LDR  LD traversal is done move to R 
            k -= 1
            if(k == 0):
                return current.val
            current = current.right

    return 0

def kthSmallest(self, root, k):
    return self.inorderTraversal( root , k  )

Napisałem zgrabną funkcję do obliczania k-tego najmniejszego elementu. Używam przechodzenia w kolejności i zatrzymuję się, gdy osiągnie k-ty najmniejszy element.

void btree::kthSmallest(node* temp, int& k){
if( temp!= NULL)   {
 kthSmallest(temp->left,k);       
 if(k >0)
 {
     if(k==1)
    {
      cout<<temp->value<<endl;
      return;
    }

    k--;
 }

 kthSmallest(temp->right,k);  }}

int RecPrintKSmallest(Node_ptr head,int k){
  if(head!=NULL){
    k=RecPrintKSmallest(head->left,k);
    if(k>0){
      printf("%c ",head->Node_key.key);
      k--;
    }
    k=RecPrintKSmallest(head->right,k);
  }
  return k;
}

public TreeNode findKthElement(TreeNode root, int k){
    if((k==numberElement(root.left)+1)){
        return root;
    }
    else if(k>numberElement(root.left)+1){
        findKthElement(root.right,k-numberElement(root.left)-1);
    }
    else{
        findKthElement(root.left, k);
    }
}

public int numberElement(TreeNode node){
    if(node==null){
        return 0;
    }
    else{
        return numberElement(node.left) + numberElement(node.right) + 1;
    }
}

public static Node kth(Node n, int k){
    Stack<Node> s=new Stack<Node>();
    int countPopped=0;
    while(!s.isEmpty()||n!=null){
      if(n!=null){
        s.push(n);
        n=n.left;
      }else{
        node=s.pop();
        countPopped++;
        if(countPopped==k){
            return node;
        }
        node=node.right;

      }
  }

}