Dlaczego DFS, a nie BFS do znajdowania cyklu na wykresach

85

Przeważnie DFS służy do znajdowania cyklu na wykresach, a nie BFS. Jakieś powody? Oba mogą sprawdzić, czy węzeł został już odwiedzony podczas przeglądania drzewa / wykresu.

złe towarzystwo
źródło
5
W grafach skierowanych tylko DFS może być użyte do wykrycia cyklu; ale w grafach nieukierunkowanych można używać obu.
Hengameh

Odpowiedzi:

73

Przeszukiwanie wgłębne jest bardziej wydajne w pamięci niż przeszukiwanie wszerz, ponieważ możesz cofnąć się wcześniej. Jest również łatwiejsze do zaimplementowania, jeśli używasz stosu wywołań, ale zależy to od najdłuższej ścieżki, która nie przepełnia stosu.

Również jeśli twój wykres jest ukierunkowany , musisz nie tylko pamiętać, czy odwiedziłeś węzeł, czy nie, ale także, jak się tam dostałeś. W przeciwnym razie możesz pomyśleć, że znalazłeś cykl, ale w rzeczywistości masz tylko dwie oddzielne ścieżki A-> B, ale to nie znaczy, że istnieje ścieżka B-> A. Na przykład,

Jeśli zrobisz BFS zaczynając od 0, wykryje, że cykl jest obecny, ale w rzeczywistości nie ma cyklu.

Dzięki wyszukiwaniu wgłębnemu możesz oznaczyć węzły jako odwiedzone podczas schodzenia i odznaczyć je podczas cofania. Zobacz komentarze dotyczące poprawy wydajności tego algorytmu.

Aby uzyskać najlepszy algorytm wykrywania cykli na grafie skierowanym, możesz spojrzeć na algorytm Tarjana .

Mark Byers
źródło
3
(Wydajna pamięć, ponieważ możesz cofać się wcześniej i łatwiejsza do zaimplementowania, ponieważ możesz po prostu pozwolić stosowi zająć się przechowywaniem listy otwartych, zamiast konieczności jawnego jej utrzymywania.)
Amber
3
IMO, jest to łatwiejsze tylko wtedy, gdy możesz polegać na rekurencji ogonowej.
Hank Gay
2
„odznacz je, cofając się” - na własne ryzyko! Może to łatwo prowadzić do zachowania O (n ^ 2), w szczególności taki DFS błędnie zinterpretowałby krawędzie poprzeczne jako krawędzie „drzewa” (krawędzie „drzewa” również byłyby mylące, ponieważ w rzeczywistości nie tworzyłyby już drzewa)
Dimitris Andreou
1
@Dimitris Andreo: Możesz użyć trzech odwiedzonych stanów zamiast dwóch, aby poprawić wydajność. W przypadku wykresów skierowanych istnieje różnica między „Widziałem ten węzeł wcześniej” a „Ten węzeł jest częścią pętli”. Z wykresami nieukierunkowanymi są one równoważne.
Mark Byers
Dokładnie, zdecydowanie potrzebujesz trzeciego stanu (aby uczynić algorytm liniowym), więc powinieneś rozważyć zmianę tej części.
Dimitris Andreou
28
  1. DFS jest łatwiejszy do wdrożenia
  2. Gdy DFS znajdzie cykl, stos będzie zawierał węzły tworzące cykl. To samo nie dotyczy BFS, więc musisz wykonać dodatkową pracę, jeśli chcesz również wydrukować znaleziony cykl. To sprawia, że ​​DFS jest znacznie wygodniejszy.
IVlad
źródło
10

BFS może być rozsądny, jeśli wykres nie jest ukierunkowany (bądź moim gościem w pokazaniu wydajnego algorytmu wykorzystującego BFS, który raportowałby cykle w ukierunkowanym wykresie!), Gdzie każda „krawędź poprzeczna” definiuje cykl. Jeśli krawędź poprzeczna jest {v1, v2}, a korzeń (w drzewie BFS), który zawiera te węzły r, to cykl jest r ~ v1 - v2 ~ r( ~jest to ścieżka, -pojedyncza krawędź), co można raportować prawie tak łatwo, jak w DFS.

Jedynym powodem korzystania z BFS byłoby to, gdybyś wiedział, że twój (niekierowany) wykres będzie miał długie ścieżki i małe pokrycie ścieżek (innymi słowy, głębokie i wąskie). W takim przypadku BFS wymagałby proporcjonalnie mniej pamięci dla swojej kolejki niż stos DFS (oba oczywiście nadal liniowe).

We wszystkich innych przypadkach wyraźnie wygrywa DFS. Działa zarówno na wykresach ukierunkowanych, jak i nieukierunkowanych, a raportowanie cykli jest trywialne - po prostu połącz dowolną tylną krawędź do ścieżki od przodka do potomka, a otrzymasz cykl. Podsumowując, znacznie lepsze i praktyczne niż BFS dla tego problemu.

Dimitris Andreou
źródło
4

BFS nie będzie działać dla ukierunkowanego wykresu w znajdowaniu cykli. Rozważmy A-> B i A-> C-> B jako ścieżki od A do B na wykresie. BFS powie, że po przejściu jednej ze ścieżek, którą odwiedza B. Kontynuując podróż następną ścieżką, powie, że zaznaczony węzeł B został ponownie znaleziony, a zatem istnieje cykl. Najwyraźniej nie ma tu cyklu.

Aditya Raman
źródło
Czy możesz wyjaśnić, w jaki sposób DFS jasno wskaże, że cykl nie istnieje w twoim przykładzie Zgadzam się, że cykl nie istnieje w podanym przykładzie, ale jeśli przejdziemy od A-> B, a następnie A-> C-> B, znajdziemy że B był już odwiedzony, a jego rodzicem jest A, a nie C..i przeczytałem, że DFS wykryje cykl, porównując element nadrzędny już odwiedzonego elementu z bieżącym węzłem, z którego kierunku sprawdzamy w tym momencie. ja źle otrzymuję DFS lub co?
smasher
Wszystko, co tutaj pokazałeś, to to, że ta konkretna implementacja nie działa, nie że jest to niemożliwe z BFS. W rzeczywistości jest to możliwe, chociaż wymaga więcej pracy i miejsca.
Prune
@Prune: Wszystkie wątki (tak mi się wydaje) próbują udowodnić, że bfs nie będzie działać przy wykrywaniu cykli. Jeśli wiesz, jak kontrować dowody, powinieneś przedstawić dowód. Mówienie po prostu, że wysiłki są większe, nie wystarczy
Aditya Raman
Ponieważ algorytm jest podany w linkowanych postach, nie wydaje mi się, aby powtarzać tutaj szkic.
Prune
Nie mogłem znaleźć żadnych powiązanych postów, dlatego poprosiłem o to samo. Zgadzam się z twoim punktem dotyczącym możliwości bfs i właśnie pomyślałem o implementacji. Dzięki za cynk :)
Aditya Raman
3

Nie wiem, dlaczego w moim kanale pojawiło się takie stare pytanie, ale wszystkie poprzednie odpowiedzi są złe, więc ...

DFS służy do znajdowania cykli w ukierunkowanych wykresach, ponieważ działa .

W DFS każdy wierzchołek jest „odwiedzany”, gdzie odwiedzanie wierzchołka oznacza:

  1. Wierzchołek zostaje uruchomiony
  2. Odwiedzany jest podgraf dostępny z tego wierzchołka. Obejmuje to śledzenie wszystkich nieoznaczonych krawędzi, które są dostępne z tego wierzchołka, i odwiedzanie wszystkich osiągalnych nieodwiedzonych wierzchołków.

  3. Wierzchołek jest gotowy.

Krytyczną cechą jest to, że wszystkie krawędzie osiągalne z wierzchołka są śledzone przed zakończeniem wierzchołka. Jest to funkcja DFS, ale nie BFS. W rzeczywistości jest to definicja DFS.

Dzięki tej funkcji wiemy, że po uruchomieniu pierwszego wierzchołka w cyklu:

  1. Żadna z krawędzi cyklu nie została prześledzona. Wiemy o tym, ponieważ można się do nich dostać tylko z innego wierzchołka w cyklu, a mówimy o pierwszym wierzchołku, który ma zostać uruchomiony.
  2. Wszystkie untraced krawędzie osiągalny z tego wierzchołka będą śledzone przed jego zakończeniem, i że obejmuje wszystkie krawędzie w cyklu, ponieważ żaden z nich nie został jeszcze prześledzić. Dlatego jeśli istnieje cykl, znajdziemy krawędź z powrotem do pierwszego wierzchołka po jego rozpoczęciu, ale przed zakończeniem; i
  3. Ponieważ wszystkie nakreślone krawędzie są osiągalne z każdego rozpoczętego, ale nieukończonego wierzchołka, znalezienie krawędzi do takiego wierzchołka zawsze wskazuje na cykl.

Tak więc, jeśli istnieje cykl, to mamy gwarancję znalezienia krawędzi do rozpoczętego, ale niedokończonego wierzchołka (2), a jeśli znajdziemy taką krawędź, to mamy gwarancję, że istnieje cykl (3).

Dlatego DFS jest używany do znajdowania cykli w ukierunkowanych wykresach.

BFS nie daje takich gwarancji, więc po prostu nie działa. (niezależnie od doskonale dobrych algorytmów wyszukiwania cykli, które obejmują BFS lub podobne jako podprocedura)

Z drugiej strony wykres nieukierunkowany ma cykl, gdy istnieją dwie ścieżki między dowolną parą wierzchołków, tj. Gdy nie jest to drzewo. Jest to łatwe do wykrycia podczas BFS lub DFS - krawędzie śledzone do nowych wierzchołków tworzą drzewo, a każda inna krawędź wskazuje cykl.

Matt Timmermans
źródło
W istocie jest to najbardziej (być może jedyna) powiązana odpowiedź, wyjaśniająca rzeczywiste powody.
plasmacel
2

Jeśli umieścisz cykl w losowym miejscu na drzewie, DFS będzie miał tendencję do trafiania w cykl, gdy pokryje około połowę drzewa, i połowę czasu, gdy już przeszedł tam, gdzie przebiega cykl, a połowę czasu nie ( i znajdzie go średnio w połowie reszty drzewa), więc oszacuje średnio około 0,5 * 0,5 + 0,5 * 0,75 = 0,625 drzewa.

Jeśli umieścisz cykl w losowym miejscu na drzewie, BFS będzie miał tendencję do uderzania w cykl tylko wtedy, gdy oceni warstwę drzewa na tej głębokości. W związku z tym zwykle trzeba ocenić liście drzewa binarnego równowagi, co generalnie skutkuje oceną większej części drzewa. W szczególności w 3/4 czasu co najmniej jedno z dwóch ogniw pojawia się w liściach drzewa i w tych przypadkach trzeba ocenić średnio 3/4 drzewa (jeśli jest jedno łącze) lub 7 / 8 drzewa (jeśli są dwa), więc możesz już oczekiwać wyszukiwania 1/2 * 3/4 ​​+ 1/4 * 7/8 = (7 + 12) / 32 = 21/32 = 0.656 ... drzewa bez dodawania nawet kosztu przeszukiwania drzewa z dodanym cyklem z dala od węzłów liści.

Ponadto DFS jest łatwiejszy do wdrożenia niż BFS. Więc to jest ten, którego należy użyć, chyba że wiesz coś o swoich cyklach (np. Cykle prawdopodobnie znajdują się blisko korzenia, z którego szukasz, w którym momencie BFS daje ci przewagę).

Rex Kerr
źródło
Jest tam dużo magicznych liczb. Nie zgadzam się z argumentami „DFS jest szybszy”. Zależy to całkowicie od danych wejściowych i żadne dane wejściowe nie są bardziej powszechne niż inne w tym przypadku.
IVlad
@Vlad - Liczby nie są magiczne. Są to średnie, są określone jako takie i są prawie trywialne do obliczenia, biorąc pod uwagę założenia, które przedstawiłem. Jeśli przybliżanie przez średnią jest złym przybliżeniem, byłaby to uzasadniona krytyka. (I wyraźnie powiedziałem, że jeśli możesz przyjąć założenia dotyczące struktury, odpowiedź może się zmienić.)
Rex Kerr
liczby są magiczne, ponieważ nic nie znaczą. Biorąc pod uwagę przypadek, DFS działa lepiej i ekstrapolował te wyniki na przypadek ogólny. Twoje stwierdzenia są bezpodstawne: „DFS będzie miał tendencję do uderzania w cykl, gdy zajmie około połowy drzewa”: udowodnij to. Nie wspominając już o tym, że nie można mówić o cyklach na drzewie. Drzewo z definicji nie ma cyklu. Po prostu nie rozumiem, o co ci chodzi. DFS będzie szedł w jedną stronę, aż trafi w ślepy zaułek, więc nie masz możliwości sprawdzenia, ile GRAPH (NIE drzewa) będzie średnio badane. Właśnie wybrałeś przypadek, który niczego nie dowodzi.
IVlad
@Vlad - wszystkie niecykliczne, w pełni połączone, niekierowane wykresy są drzewami (nieukorzenionymi, nieskierowanymi). Miałem na myśli „wykres, który byłby drzewem, gdyby nie jeden fałszywy link”. Być może nie jest to główna aplikacja algorytmu - może chcesz znaleźć cykle na jakimś splątanym wykresie, który ma bardzo wiele linków, które sprawiają, że nie jest to drzewo. Ale jeśli jest on podobny do drzewa, uśredniony na wszystkich wykresach, każdy węzeł jest równie prawdopodobne, że jest źródłem wspomnianego fałszywego łącza, co sprawia, że ​​oczekiwane pokrycie drzewa wynosi 50% po kliknięciu łącza. Zgadzam się więc, że przykład mógł nie być reprezentatywny. Ale matematyka powinna być banalna.
Rex Kerr
1

Aby udowodnić, że wykres jest cykliczny, wystarczy udowodnić, że ma jeden cykl (krawędź skierowana do siebie bezpośrednio lub pośrednio).

W DFS bierzemy jeden wierzchołek na raz i sprawdzamy, czy ma cykl. Po znalezieniu cyklu możemy pominąć sprawdzanie innych wierzchołków.

W BFS musimy śledzić wiele krawędzi wierzchołków jednocześnie i najczęściej na końcu dowiadujesz się, czy ma cykl. Wraz ze wzrostem rozmiaru wykresu BFS wymaga więcej miejsca, obliczeń i czasu w porównaniu do DFS.

Spiker
źródło
0

To w pewnym sensie zależy od tego, czy mówisz o implementacjach rekurencyjnych, czy iteracyjnych.

Recursive-DFS odwiedza każdy węzeł dwukrotnie. Iteracyjny-BFS odwiedza każdy węzeł raz.

Jeśli chcesz wykryć cykl, musisz zbadać węzły zarówno przed, jak i po dodaniu ich przylegania - zarówno po „uruchomieniu” w węźle, jak i po „zakończeniu” na węźle.

Wymaga to więcej pracy w Iterative-BFS, więc większość ludzi wybiera Recursive-DFS.

Zauważ, że prosta implementacja Iterative-DFS z, powiedzmy, std :: stack ma ten sam problem, co Iterative-BFS. W takim przypadku musisz umieścić fikcyjne elementy na stosie, aby śledzić „zakończenie” pracy nad węzłem.

Zobacz tę odpowiedź, aby uzyskać więcej informacji na temat tego, jak Iterative-DFS wymaga dodatkowej pracy, aby określić, kiedy „zakończysz” pracę z węzłem (odpowiedź w kontekście TopoSort):

Sortowanie topologiczne przy użyciu DFS bez rekursji

Mamy nadzieję, że to wyjaśnia, dlaczego ludzie preferują rekurencyjny system plików DFS w przypadku problemów, w których trzeba określić, kiedy „kończy się” przetwarzanie węzła.

Społeczność
źródło
Jest to całkowicie błędne, ponieważ nie ma znaczenia, czy używasz rekurencji, czy eliminujesz ją przez iterację. Możesz zaimplementować iteracyjny DFS, który odwiedza każdy węzeł dwukrotnie, tak jak można zaimplementować wariant rekurencyjny, który odwiedza każdy węzeł tylko raz.
plasmacel
0

Będziesz musiał użyć BFS gdy chcesz znaleźć najkrótszy cykl zawierający dany węzeł na skierowanym wykresie.

Na przykład:wprowadź opis obrazu tutaj

Jeśli dany węzeł ma wartość 2, istnieją trzy cykle, w których jest częścią - [2,3,4], [2,3,4,5,6,7,8,9]&[2,5,6,7,8,9] . Najkrótsza jest[2,3,4]

Aby zrealizować to za pomocą BFS, musisz jawnie utrzymywać historię odwiedzanych węzłów przy użyciu odpowiednich struktur danych.

Ale dla wszystkich innych celów (np. Aby znaleźć jakąkolwiek ścieżkę cykliczną lub sprawdzić, czy cykl istnieje, czy nie), DFSjest to oczywisty wybór z powodów wymienionych przez innych.

Sameer
źródło