Jak kompaktowo reprezentować wiele stanów kubitowych?

Ponieważ dostęp do urządzeń kwantowych zdolnych do obliczeń kwantowych jest nadal bardzo ograniczony, interesująca jest symulacja obliczeń kwantowych na klasycznym komputerze . Reprezentowanie stanu $n$ kubitów jako wektora wymaga $2^n$ elementów, co znacznie ogranicza liczbę kubitów, które można wziąć pod uwagę w takich symulacjach.

Czy można zastosować reprezentację ^1, która jest bardziej zwarta w tym sensie, że zużywa mniej pamięci i / lub mocy obliczeniowej niż prosta reprezentacja wektorowa? Jak to działa?

Choć łatwe do wdrożenia, jasne jest, że reprezentacja wektora jest marnotrawstwem dla stanów, które wykazują rzadkość i / lub nadmiarowość w swojej reprezentacji wektora. Konkretnym przykładem jest stan 3-kubitowy $(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$. Ma$2^3$elementy, ale przyjmują one tylko$3$możliwe wartości, przy czym większość elementów wynosi$0$. Oczywiście, aby być użytecznym w symulacji obliczeń kwantowych, musielibyśmy również rozważyć, jak reprezentować bramki i działanie bramek na kubitach, i uwzględnienie czegoś o nich byłoby mile widziane, ale chętnie usłyszę również o kubitach.

_{1. Zauważ, że pytam o reprezentacje, a nie o oprogramowanie, biblioteki lub artykuły, które mogłyby wykorzystywać / przedstawiać takie reprezentacje. Jeśli jednak przedstawisz i wyjaśnisz przedstawienie, możesz bardzo dobrze wspomnieć, gdzie jest ono już używane.}

Istnieje wiele możliwych sposobów kompaktowego przedstawienia stanu, którego użyteczność silnie zależy od kontekstu.

Przede wszystkim należy zauważyć, że nie można mieć procedury, która może zamapować dowolny stan na bardziej wydajną reprezentację tego samego stanu (z tego samego powodu, dla którego nie jest możliwe wierne skompresowanie żadnego 2-bitowego ciąg jako ciąg 1-bitowy, z odwzorowaniem, które nie zależy od ciągu).

Jednak gdy tylko zaczniesz przyjmować pewne założenia, możesz znaleźć bardziej wydajne sposoby reprezentowania stanu w danym kontekście. Istnieje wiele możliwych sposobów, aby to zrobić, więc wspomnę tylko kilka, które przychodzą mi na myśl:

1. Już standardową reprezentację wektorową stanu ket można uznać za „reprezentację skompresowaną”, która działa przy założeniu, że stan jest czysty . Rzeczywiście, potrzebujesz rzeczywistych stopni swobody, aby reprezentować dowolny (ogólnie mieszany) stan n- kubitowy, ale tylko 2 n $4^n-1$$n$do reprezentowania stanu czystego.$2^{n+1}-2$

2. Jeśli założymy, że stan jest prawie czysty, to znaczy taki, że ρ jest rzadki w pewnej reprezentacji (równoważnie, ρ jest niskiej rangi), to znowu stan można skutecznie scharakteryzować. Dla d systemu wymiarowego (tak, d = 2 n dla n systemu -qubit) zamiast stosowania ~ d 2 parametrów, można mieć wiernego reprezentacji z wykorzystaniem tylko O ( R d log 2 d $\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$ , gdzie jest sparsity stanu (patrz 0909.3304$r$ i dzieła, które przyszły potem).

3. Jeśli jesteś zainteresowany tylko ograniczoną liczbą wartości oczekiwanych można znaleźć skompresowaną reprezentację stanu n- kubit o rozmiarze O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) . Zauważ, że jest to redukcja wykładnicza$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$ . Zostało to pokazane (tak myślę) w quant-ph / 0402095 , ale wprowadzenie podane w 1801.05721 może być bardziej dostępne dla fizyka (jak również przedstawiające ulepszenia metody optymalizacji). Zobacz odniesienia w tym ostatnim artykule dla wielu podobnych wyników.

4. Jeśli wiesz, że uwikłanie państwa jest ograniczone (w sensie, który można precyzyjnie zdefiniować), to ponownie można znaleźć wydajne reprezentacje w zakresie sieci tensorowych (wprowadzenie znajduje się np. W 1708.00006 ). Niedawno wykazano również, że stany gruntu niektórych znaczących hamiltonianów mogą być reprezentowane za pomocą ansatze inspirowanej uczeniem maszynowym (( 1606.02318 i wiele kolejnych prac). Ostatnio również wykazano / twierdzono, że jest odpowiednikiem określonej reprezentacji sieci Tensor ( 1710.04045 ), więc nie jestem pewien, czy powinien przejść do własnej kategorii.

Zauważ, że we wszystkich powyższych przypadkach możesz bardziej efektywnie reprezentować dany stan, ale aby następnie symulować ewolucję systemu, zwykle powróć do pierwotnej nieefektywnej reprezentacji. Jeśli chcesz skutecznie reprezentować dynamikę stanu poprzez daną ewolucję, ponownie potrzebujesz założeń dotyczących ewolucji, aby było to możliwe. Jedyny wynik, jaki przychodzi mi na myśl w tym względzie, to klasyczny (jak ustalono, a nie jak „nie kwantowy”) twierdzenie Gottesmana-Knilla , które pozwala skutecznie symulować dowolny obwód kwantowy Clifforda.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Nie jestem pewien, czy użycie sparowania jest tutaj dobrym podejściem: nawet bramy z pojedynczymi kubitami mogą z łatwością zmienić stan rzadki w gęsty.

Ale możesz użyć formalizmu stabilizatora, jeśli używasz tylko bram Clifford . Oto krótkie podsumowanie ( oznaczenie )
jednorazowego qubit grupa Pauli to , czyli wszystkie możliwe produkty macierzy Pauli (w tym I ). Grupa kilku kubitów Pauliego jest przestrzenią iloczynu tensora G 1 , G n = G ⊗ n 1 . Stabilizator stanu | * F $G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ jest podgrupa Pauli grupie wszystkich podmiotów, które stabilizują , co oznacza,$\ket{\psi}$ . Należy zauważyć, że działa to tylko w określonych (ale ważnych) stanach. Podam przykład poniżej. Ograniczenie do elementów grupy Pauli nie jest konieczne, ale wspólne. Stabilizator jest generowany przez operatorów s 1 , s 2 , ... s n . Stabilizator jednoznacznie określa stan i jest skutecznym opisem: zamiast 2 n - 1 liczb zespolonych możemy użyć 4 n 2 bitów ( G $s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$ma 16 elementów). Kiedy zastosować bramę , aktualizacja generatory stabilizująca według s I → U † y i U . Brama, która mapuje operatorów Pauli na operatorów Pauli, nazywa się bramami Clifford. Są to więc bramy, które nie „zepsują” naszego opisu stanu.$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

Stany wykresu są ważnym przykładem opisanego powyżej formalizmu stabilizatora. Rozważmy (niekierowanego) Wykres matematyczny, który składa się z wierzchołki V i krawędzie E ⊂ V × V . Każdy wierzchołek odpowiada jednemu kubitowi. Oznaczmy wykres za pomocą G = ( V , E ) . Stan wykresu jest tworzony ze stanu | + ⟩ ⊗ n , gdzie | + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$przez przyłożenie kontrolowanego fazy bramyCZkażdej pary wierzchołków, które są połączone. Stabilizator jest generowany przezsv=Xv∏ w ∈ V ( v , w ) ∈ E Zw$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$$

Na przykład zacznij od stanu dwóch qubit . Stabilizator ⟨ X ⊗ I , I ⊗ X ⟩ . Teraz stosuje się C Z bramy do uzyskania ⟨ X ⊗ Z , Z ⊗ X ⟩ . (Stan to | ϕ ′ ⟩ = $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$, który jest lokalnym jednostkowym ekwiwalentem stanu Bell)$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Formalizm stabilizatora odgrywa również ważną rolę w kwantowej korekcji błędów.

Czy można zastosować reprezentację, która jest bardziej zwarta, w tym sensie, że zużywa mniej pamięci i / lub mocy obliczeniowej niż prosta reprezentacja wektorowa? Jak to działa?

Źródło: „ Multiple Qubits ”:

„Pojedynczy kubit można modelować w trywialny sposób, symulowanie obliczenia kwantowego pięćdziesięciu kubitów prawdopodobnie przekroczyłoby granice istniejących superkomputerów. Zwiększenie rozmiaru obliczeń o tylko jeden dodatkowy kubit podwaja pamięć wymaganą do przechowywania stanu i z grubsza podwaja czas obliczeniowy To szybkie podwojenie mocy obliczeniowej powoduje, że komputer kwantowy o stosunkowo małej liczbie kubitów może znacznie przewyższyć najpotężniejsze superkomputery dzisiejszego, jutra i nie tylko w przypadku niektórych zadań obliczeniowych. ”.

Więc nie możesz użyć schematu Ponzi ani obrabować Petera, żeby zapłacić Paulowi . Kompresja pozwoli zaoszczędzić pamięć kosztem złożoności obliczeniowej lub reprezentacja w bardziej elastycznej przestrzeni (większej) zmniejszyłaby złożoność obliczeniową, ale kosztem pamięci. Zasadniczo potrzebne są bardziej wydajne algorytmy sprzętowe lub inteligentne.

---

Oto kilka metod:

• Kompresja objętości zestawów stanów kwantowych metryki Qubita:

Fisher informacje metryka może być używany do mapowania głośność qubitu stosując podejście geometrii informacje, jak to omówiono w „ objętości Two-qubit Zjednoczonych informacjami Geometry ”, " Analiza Fisher Informacje i Cramera-Rao do nieliniowej estymację parametru Po skompresowanym odczuciu ”i naszym„ Intuicyjnym wyjaśnieniu informacji Fishera i związanej z Cramer-Rao ”.

• Analogiczna do kompresji operandów:

Obliczanie optymalnych pod względem głębokości dekompozycji operacji logicznych: „ Algorytm spotkania w środku dla szybkiej syntezy optymalnych pod względem głębi obwodów kwantowych ” lub dyskusja Quora na temat „ Kodowania wymiaru cząstki ”.

• Analogiczny do kompresji pamięci:

Faktoryzacja Qutrita za pomocą arytmetyki trójskładnikowej: „ Faktoryzacja za pomocą Qutrits: Algorytm Shora w trójskładnikowych i metaplektycznych architekturach kwantowych ” oraz „ Synteza kwantowych obwodów trójskładnikowych za pomocą operacji rzutowania ”.

• Analogicznie do tradycyjnej optymalizacji

„ Kwantowy algorytm znajdowania minimalnych wyłącznych wyrażeń lub wyrażeń ”.

• Inny:

Krull Wymiary lub aksjatyzacja i przepisywanie grafów: „ Kompletność rachunku ZX dla Pure Qubit Clifford + T Mechanika kwantowa ”.

Łącząc te techniki, powinieneś być w stanie wcisnąć stopę w but. Pozwoliłoby to na emulację większych systemów na konwencjonalnych procesorach, po prostu nie proś mnie o wyjaśnienie pracy doktorskiej lub napisanie kodu. :)