Jeśli wszystkie bramki kwantowe muszą być jednolite, co z pomiarem?

Wszystkie operacje kwantowe muszą być jednolite, aby umożliwić odwracalność, ale co z pomiarem? Pomiar może być reprezentowany jako macierz, a ta matryca jest stosowana do kubitów, więc wydaje się to równoważne działaniu bramki kwantowej. To zdecydowanie nie jest odwracalne. Czy są jakieś sytuacje, w których dopuszczalne mogą być bramy niejednorodne?

Operacje jednostkowe są tylko szczególnym przypadkiem operacji kwantowych , które są liniowymi, całkowicie dodatnimi mapami („kanałami”), które odwzorowują operatory gęstości na operatory gęstości. Staje się to oczywiste w reprezentacji Krausa kanału,

Jednak bramka kwantowa jest jednolita, ponieważ są one realizowane poprzez działania Hamiltona przez czas szczególnego, co daje jednolitą ewolucję czasową zgodnie z równaniem Schrödingera.

Krótka odpowiedź

Operacje kwantowe nie muszą być jednolite. W rzeczywistości wiele algorytmów i protokołów kwantowych wykorzystuje niejednolitość.

Długa odpowiedź

Pomiary są prawdopodobnie najbardziej oczywistych przykładów niejednolitych przemian stanowiących zasadniczy składnik algorytmy (w tym sensie, że „pomiar” jest równoznaczne z próbek z rozkładu prawdopodobieństwa, otrzymanego po operacji dekoherencja ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Mówiąc bardziej ogólnie, każdy algorytm kwantowy, który obejmuje kroki probabilistyczne, wymaga operacji niejednolitych. Godnym uwagi przykładem jest algorytm HHL09 do rozwiązywania liniowych układów równań (patrz 0811.3171 ). Ważnym krokiem w tym algorytmie jest odwzorowaniem , gdzie$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$ są wektory własne jakiegoś operatora. To odwzorowanie jest z konieczności probabilistyczne, a zatem niejednolite.$|\lambda_j\rangle$

Każdy algorytm lub protokół korzystający z (klasycznego) sprzężenia zwrotnego korzysta również z operacji niejednolitych. Jest to całość jednokierunkowych protokołów obliczeń kwantowych (które, jak sama nazwa wskazuje, wymagają operacji nieodwracalnych).

Najbardziej godne uwagi schematy optycznego obliczania kwantowego z pojedynczymi fotonami również wymagają pomiarów, a czasem także selekcji po selekcji w celu uwikłania stanów różnych fotonów. Na przykład protokół KLM wytwarza bramki probabilistyczne, które są co najmniej częściowo nieodwracalne. Ładna recenzja na ten temat to quant-ph / 0512071 .

Mniej intuicyjne przykłady są wynikiem indukowanej rozpraszaniem inżynierii stanu kwantowego (np 1402.0529 lub srep10656 ). W tych protokołach wykorzystuje się rozpraszającą dynamikę otwartej mapy i konstruuje interakcję stanu ze środowiskiem w taki sposób, aby pożądany był długookresowy stan stacjonarny systemu.

Ryzykując odejście od tematu z obliczeń kwantowych do fizyki, odpowiem na to, co uważam za istotne pytanie na ten temat, i wykorzystam je do dyskusji na temat jednolitych bram w obliczeniach kwantowych.

Pytanie brzmi: dlaczego chcemy jednolitości w bramkach kwantowych?

Mniej szczegółowa odpowiedź jest taka, jak powyżej, daje nam „odwracalność” lub, jak często mówią o tym fizycy, rodzaj symetrii dla systemu. Biorę kurs w mechanice kwantowej teraz, a sposób unitarne bramy pojawił się w tym oczywiście motywowane było chęcią mieć transformacje fizyczne, U : które działają jako symetrie. To nakłada dwa warunki dotyczące transformacji U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Przekształcenia powinny działać liniowo na państwo (to daje nam reprezentację macierzową).
2. Przekształcenia powinny zachować prawdopodobieństwo, a ściślej produkt wewnętrzny . Oznacza to, że jeśli zdefiniujemy:

Ochrona wewnętrznych pomocą produktów, które . Na podstawie tej drugiej specyfikacji można wyliczyć jednolitość (szczegółowe informacje można znaleźć w uwagach dr. Van Raamsdonka tutaj$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$ ).

Odpowiada to więc na pytanie, dlaczego operacje, dzięki którym rzeczy są „odwracalne”, muszą być jednolite.

Pytanie, dlaczego sam pomiar nie jest jednolity, jest bardziej związane z obliczeniami kwantowymi. Pomiar jest rzutem na podstawie; w gruncie rzeczy musi „odpowiedzieć” jednym lub kilkoma stanami podstawowymi jako samym państwem. Pozostawia również stan, w sposób, który jest zgodny z „odpowiedź” do pomiaru, a nie zgodne z bazowych prawdopodobieństw, że stan zaczął się. Więc operacja spełnia specyfikację 1. naszej transformacji , ale ostatecznie nie spełnia specyfikacji 2. Nie wszystkie macierze są sobie równe!$U$

Wracając do obliczeń kwantowych, fakt, że pomiary są destrukcyjne i rzutowe (tj. Możemy zrekonstruować superpozycję poprzez powtarzane pomiary identycznych stanów, a każdy pomiar daje nam tylko odpowiedź 0/1), jest częścią tego, co czyni subtelny podział na obliczenia kwantowe i zwykłe (i częściowo dlatego, że trudno to określić). Można założyć, że obliczenia kwantowe są potężniejsze ze względu na sam rozmiar przestrzeni Hilberta, z wszystkimi dostępnymi dla nas superpozycjami stanu. Ale nasza zdolność do wydobywania tych informacji jest mocno ograniczona.

O ile rozumiem, pokazuje to, że do celów przechowywania informacji qubit jest tak dobry jak zwykły bit i nie jest lepszy. Ale możemy być sprytni w obliczeniach kwantowych ze sposobem, w jaki informacja jest wymieniana, z powodu podstawowej struktury liniowo-algebraicznej.

Istnieje tutaj kilka nieporozumień, większość z nich wynika z poddania się jedynie czystemu państwowemu formalizmowi mechaniki kwantowej, więc omówmy je kolejno:

1. Wszystkie operacje kwantowe muszą być jednolite, aby umożliwić odwracalność, ale co z pomiarem?

To nieprawda. Zasadniczo stany układu kwantowego to nie tylko wektory w przestrzeni Hilberta ale macierze gęstości - śladowe jednostki, dodatnie operatory półskończone działające na przestrzeń Hilberta $\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$ , , T r ( ρ ) = 1 oraz ρ $\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$ (Zauważ, że wektory stanu czystego nie są wektorami w przestrzeni Hilberta, leczpromieniami w złożonej przestrzeni rzutowej; dla kubita odpowiada to przestrzeni Hilberta jako C P 1, a nie C$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Macierze gęstości służą do opisu statystycznego zestawu stanów kwantowych.

Macierz gęstości nazywa się czystą, jeżeli i mieszaną, jeśli$\rho^2 = \rho$ . Kiedy mamy do czynienia z macierzą gęstości stanu czystego (tzn. Nie ma żadnej niepewności statystycznej), ponieważ ρ 2 = ρ , macierz gęstości jest w rzeczywistościoperatorem rzutowaniai można znaleźć | * F ⟩ ∈ $\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ tak, że .$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

Najbardziej ogólną operacją kwantową jest mapa CP (mapa całkowicie dodatnia), tj. takie, że Φ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K † i ; ∑ i K † i K i ≤ I (jeśli ∑ i K † i K i = I, wówczas są one nazywane mapą CPTP (całkowicie dodatnią i zachowującą ślad ) lub$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Teraz dochodząc do twierdzenia PO, że wszystkie operacje kwantowe są jednolite, aby umożliwić odwracalność - to po prostu nieprawda. Jednostkowość operatora ewolucji czasu ( ) w mechanice kwantowej (dla ewolucji kwantowej w układzie zamkniętym) jest po prostu konsekwencją równania Schrödingera.$e^{-iHt/\hbar}$

Jednak, gdy weźmiemy pod uwagę macierze gęstości, najbardziej ogólną ewolucją jest mapa CP (lub CPTP dla systemu zamkniętego, aby zachować ślad, a zatem prawdopodobieństwo).

2. Czy są jakieś sytuacje, w których dopuszczalne mogą być bramy niejednorodne?

Tak. Ważnym przykładem, jaki przychodzi mi na myśl, są otwarte układy kwantowe, w których operatory Krausa (które nie są jednolite) są „bramami”, z którymi ewoluuje system.

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

Przechodząc do ostatniego punktu:

3. Pomiar może być reprezentowany jako macierz, a ta matryca jest stosowana do kubitów, więc wydaje się to równoważne działaniu bramki kwantowej. To zdecydowanie nie jest odwracalne.

$-$$-$$|\phi\rangle \langle\phi|$ działając na stan kwantowy $|\psi\rangle$ i $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ daje nam prawdopodobieństwo znalezienia systemu w stanie $|\phi\rangle$po pomiarze. Ponieważ operator pomiaru jest przecież projektorem (lub, jak sugeruje OP, matrycą), nie powinien być liniowy i fizycznie podobny do ewolucji jednostkowej (również dzieje się za pośrednictwem macierzy). To interesujące pytanie i moim zdaniem trudno na nie odpowiedzieć fizycznie. Mogę jednak rzucić nieco światła na to matematycznie.

Jeśli pracujemy we współczesnym formalizmie, wówczas pomiary są podawane przez elementy POVM ; Hermitańskie pozytywne operatory półfinalne,$\{M_{i}\}$ na przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$ ta suma do operatora tożsamości (w przestrzeni Hilberta) $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being $M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on $p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

I'll add a small bit complementing the other answers, just about the idea of measurement.

Measurement is usually taken as a postulate of quantum mechanics. There's usually some preceding postulates about hilbert spaces, but following that

• Every measurable physical quantity $A$ is described by an operator $\hat{A}$ acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$. This operator is called an observable, and it's eigenvalues are the possibly outcomes of a measurement.
• If a measurement is made of the observable $A$, in the state of the system $\psi$, and the outcome is $a_n$, then the state of the system immediately after measurement is $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ where $\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue $a_n$.

Normally the projection operators themselves should satisfy $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and $\hat{P}^2=\hat{P}$, which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$ or $0$. Supposing we take one of the $\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity $a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi\rangle$.

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

1. All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.

2. There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.