Dlaczego używamy standardowego zestawu bramek, który robimy?

Zazwyczaj stosowany zestaw bramek do obliczeń kwantowych składa się z pojedynczych kubitów Cliffords (Paulis, H i S) i kontrolowanego-NOT i / lub kontrolowanego-Z.

Aby wyjść poza Clifford, lubimy mieć pełne rotacje pojedynczych kubitów. Ale jeśli jesteśmy minimalni, wybieramy T (czwarty pierwiastek Z).

Ta szczególna forma zestawu bram wyskakuje wszystko. Takich jak na przykład eksperyment kwantowy IBM.

Dlaczego właśnie te bramy? Na przykład, H spełnia swoje zadanie odwzorowania między X i Z. Podobnie S ma zadanie odwzorowania między X i Y, ale współczynnik także zostaje wprowadzony. Dlaczego nie używamy unitarnego podobnego do Hadamarda ( X + Y ) / $-1$ zamiast S? Albo dlaczego nie użyjemy pierwiastka kwadratowego Y zamiast H? Byłoby to oczywiście matematycznie równoważne, ale wydawałoby się po prostu bardziej spójne jako konwencja.$(X+Y)/\sqrt{2}$

I dlaczego nasza droga do bramy innej niż Clifford jest czwartym źródłem Z? Dlaczego nie czwarty pierwiastek z X lub Y?

Jakie konwencje historyczne doprowadziły do ​​tego konkretnego wyboru zestawu bram?

Każdy, kto napisał artykuł i zadał sobie pytanie, czy mógłby poprawić notację lub przedstawić analizę nieco inaczej, aby uczynić ją bardziej elegancką, zna fakt, że wybór notacji, opisu i analizy może być wypadkiem - wybrany bez głębokich motywacji. Nie ma w tym nic złego, po prostu nie ma silnego uzasadnienia, aby być konkretnym sposobem. W dużych społecznościach ludzi, którzy są bardziej zainteresowani (być może uzasadnionym) robieniem rzeczy niż prezentowaniem możliwie najczystszego obrazu, tak będzie przez cały czas.

Myślę, że ostateczna odpowiedź na to pytanie będzie zgodna z tymi założeniami: jest to głównie historyczny wypadek. Wątpię, czy istnieją głęboko przemyślane powody, dla których zestawy bram są takie, jakie są, podobnie jak głęboko przemyślane powody, dla których mówimy o stanie Bell nieco częściej niż stan.$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Ale wciąż możemy zastanowić się, jak doszło do wypadku i czy możemy się czegoś dowiedzieć o systematycznych sposobach myślenia, które mogły nas tam doprowadzić. Oczekuję, że przyczyny ostatecznie wynikają z kulturowych priorytetów informatyków, przy czym zarówno głębokie, jak i powierzchowne uprzedzenia odgrywają rolę w sposobie opisywania rzeczy.

Dygresja o stanach Bella

Jeśli mnie znosisz, chciałbym rozwodzić się na przykładzie dwóch stanów Bell i jako indykatywny przykład tego, jak ostatecznie dowolna konwencja może powstały przypadkowo, częściowo z powodu uprzedzeń, które nie mają głębokich matematycznych korzeni.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

Oczywistym powodem preferring nad jest to, że ta pierwsza jest bardziej oczywisty sposób symetryczny. Kiedy dodajemy dwa komponenty do , nie ma wyraźnej potrzeby bronić, dlaczego piszemy to podczas pisania. W przeciwieństwie do tego, równie łatwo zdefiniować z przeciwnym znakiem, który nie jest ani lepszy, ani gorszy wybór . To sprawia wrażenie, jakbyśmy dokonywali bardziej dowolnych wyborów podczas definiowania .$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

Nawet wybór podstawy jest nieco elastyczny w przypadku : możemy napisać i uzyskać ten sam stan. Ale sprawy zaczynają będzie trochę gorzej, jeśli zaczniesz biorąc pod uwagę stany własne z operatora: mamy . Nadal wygląda to dość symetrycznie, ale staje się jasne, że nasz wybór podstaw odgrywa niebanalną rolę w sposobie definiowania .$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Żart jest na nas. Powodem, dla którego wydaje się „bardziej symetryczny” niż jest to, że jest dosłownie najmniej symetrycznym stanem dwóch kubitów, a to czyni go lepszym zmotywowany niż$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$

• $\lvert \Psi^- \rangle$$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• $\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Kto zamówił CNOT?

$(X + Y)\big/\sqrt 2$$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$$\sqrt Y$$\sqrt Y$$\sqrt Y$$\sqrt Y$

$\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

$U$$U'$

Chociaż trochę się tutaj bawię, w końcu nad tym właśnie studiujemy obliczenia kwantowe . Fizyk może mieć głębszy wgląd w ekologię operacji elementarnych, ale pod koniec dnia informatycy troszczą się o to, jak prymitywne rzeczy można złożyć w zrozumiałe procedury obejmujące klasyczne dane. A to oznacza, że ​​nie przywiązuje się zbytniej wagi do symetrii na niższych poziomach logicznych, o ile mogą uzyskać to, czego chcą z niższych poziomów.

$U$$U'$

Głębokie i niezbyt głębokie powody, by preferować bramę Hadamard

$(X + Z)\big/\sqrt 2$$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

$H$

$\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$$\sqrt Y$

• $H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• $H$$2$

$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$, aby połączyć się z pojęciem przełączania, wydaje się to wskazywać na szczególną preferencję do rozważania rzeczy przez „odwrócenie” zamiast odwracalnych zmian podstawy. Priorytety te pasują do zainteresowań informatyki.

$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$$\sqrt Y$$(X + Y)\big/\sqrt 2$

Argument przekątny

Jeśli jesteś informatykiem, kiedy już będziesz mieć Hadamarda i CNOT, pozostanie ci tylko uporządkowanie tych irytujących skomplikowanych faz. Te fazy są oczywiście niezwykle ważne. Ale to, jak mówimy o fazach względnych, ujawnia dyskomfort związany z tym pomysłem. Nawet opisanie standardowej podstawy jako „bitowej” do przechowywania informacji kładzie silny nacisk na to, że niezależnie od „fazy”, nie jest to zwykły sposób, w jaki należy rozważyć przechowywanie informacji. Fazy ​​wszelkiego rodzaju są czymś, z czym należy sobie poradzić po „prawdziwym” biznesie radzenia sobie z amplitudami amplitud; po skonfrontowaniu faktu, że można przechowywać informacje na więcej niż jednej podstawie. Prawie nie rozmawiamy o nawet czysto wyobrażonych fazach względnych, jeśli możemy im pomóc.

$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

I ani chwili za wcześnie - ponieważ informatycy tak naprawdę nie dbają o to, jakie prymitywne operacje są używane, gdy tylko mogą uzasadnić przejście na coś wyższego poziomu.

streszczenie

Nie sądzę, aby istniał jakiś bardzo interesujący fizycznie motywowany powód, dla którego używamy konkretnego zestawu bramek. Ale z pewnością możliwe jest zbadanie motywowanych psychologicznie powodów, dla których to robimy. Powyższe jest spekulacją w tym kierunku, opartą na wieloletnim doświadczeniu.