Co się stanie, jeśli dwa osobno splątane kubity zostaną przepuszczone przez bramkę C-NOT?

Załóżmy, że przekształcam stan w następujący sposób:

1. Zaczynam od stanu $\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$ .
2. Łączę 1. i 2. kubity (z bramką H i C-NOT).
3. Następnie w ten sam sposób uwikłam trzeci i czwarty kubit.

Jeśli spróbuję zastosować bramkę H i C-NOT do drugiego i trzeciego kubitu, czy cały system się zaplątać? Co dzieje się z 1. i 4. kubitami w takim przypadku?

( Przeniesiony z Physics.SE )

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$

$$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$$ $$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$$ $$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$$ Zmieńmy to nieco, ponieważ Pamiętaj, że potrzebujemy pełnego stanu całego systemu. Nie można tak naprawdę mówić osobno o stanach kubitów 1 i 4 ze względu na uwikłanie. $$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$$

Pytanie „czy jest nadal uwikłane” jest wprost „tak”, ale w rzeczywistości jest to trywialność o wiele bardziej złożonej kwestii. Jest uwikłany w tym sensie, że nie jest to stan produktu .$\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

Jednym prostym sposobem na stwierdzenie, że stan ten jest uwikłany, jest wybranie dwuczęściowego podziału, tj. Podziału kubitów na dwie partie. Na przykład, weźmy qubit 1 za jedną partię (A), a wszystkie pozostałe za partię B. Jeśli wypracujemy zredukowany stan partii A, stan produktu (nie splątany) musiałby dać czysty stan. Tymczasem, jeśli stan zredukowany nie jest czysty, tj. Ma rangę większą niż 1, stan jest zdecydowanie uwikłany. Na przykład w tym przypadku ma rangę 2. Właściwie to nie nie ważne, co zrobiłeś między kubitami 2 i 3, ponieważ

$$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$$ $\rho_A$jest niezależny od tego jednolitego; nie może usunąć splątania utworzonego za pomocą kubitu 1 (możliwe, że rozłoży go między kubity 2 i 3). Fakt, że musisz spojrzeć na różne dwudzielne partie, aby zobaczyć, które kubity są splątane, a które już zaczyna wskazywać na pewną złożoność. Dla czystych stanów wystarczy spojrzeć na każdy z dwuczęściowych 1 kubitów z resztą. Jeśli każda z tych matryc o zmniejszonej gęstości ma rangę 1, cały stan można rozdzielić.

W związku z twoim pytaniem możesz chcieć sprawdzić kwestie „monogamii splątania” - im bardziej splątany kubit 1 dotyczy qubit 2, tym mniej splątany kubit 1 dotyczy qubit 3 (na przykład), i które można określić ilościowo w na wiele różnych sposobów. Podobnie możesz zadawać pytania na temat „jaki jest rodzaj uwikłania?”. Jednym z podejść jest sprawdzenie, jakie typy splątania można przekształcić w różne typy (często nazywane „klasami równoważności SLOCC”). Na przykład przy 3 kubitach ludzie rozróżniają splątanie stanu W, które wygląda jak i splątanie GHZ, które wygląda jak , a także dwustronne splątanie między różnymi parami kubitów, a stan oddzielny z drugiej.$\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$$\ket{000}+\ket{111}$