Dlaczego tak ważne jest, aby początkowy hamiltonian nie dojeżdżał do końcowego hamiltonianu w adiabatycznym obliczeniu kwantowym?

19

Czytałem w wielu źródłach i książek na adiabatycznego obliczeń kwantowych (AQC), który jest kluczowy dla wstępnego Hamiltona H í nie dojeżdżać z końcowym Hamiltonian H f , czyli [ H I , H f ]0 . Ale nigdy nie widziałem argumentu, dlaczego to takie ważne.H.^ja H.^fa[H.^ja,H.^fa]0

Jeśli założymy, liniową zależność razem, gdy Hamiltona z AQC jest H ( t ) = ( 1 - t gdzie τ jest adiabatyczną skalą czasu.

H.^(t) = (1-tτ)H.^ja+tτH.^fa,(0tτ)
τ

Moje pytanie brzmi zatem : dlaczego tak ważne jest, aby początkowy hamiltonian nie dojeżdżał do ostatecznego hamiltonianu?

Turbotanten
źródło

Odpowiedzi:

13

W adiabatycznej kontroli jakości kodujesz swój problem w hamiltonianie, tak aby wynik mógł zostać wyodrębniony ze stanu podstawowego. Przygotowanie tego stanu podstawowego jest trudne do wykonania bezpośrednio, dlatego zamiast tego przygotowujesz stan podstawowy „łatwego” hamiltonianu, a następnie powoli interpolujesz między nimi. Jeśli przejdziesz wystarczająco wolno, stan twojego systemu pozostanie w stanie podstawowym. Pod koniec procesu będziesz mieć rozwiązanie.

Działa to zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym . Aby twierdzenie się utrzymało, musi istnieć przerwa energetyczna między stanem podstawowym a pierwszym stanem wzbudzonym. Im mniejsza staje się przerwa, tym wolniej trzeba interpolować, aby zapobiec pomieszaniu stanu podstawowego z pierwszymi stanami wzbudzonymi. Jeśli luka się zmniejszy, nie można zapobiec takiemu mieszaniu i nie można iść wystarczająco wolno. W tym momencie procedura kończy się niepowodzeniem.

Jeśli początkowa i końcowa hamiltonian dojeżdża do pracy, oznacza to, że mają te same stany własne energii. Więc zgadzają się co do tego, którym stanom przypisuje się energię, i nie zgadzają się tylko co do energii, którą otrzymują. Interpolacja między dwoma Hamiltonianami po prostu zmienia energie. Ostateczny stan podstawowy byłby zatem stanem wzbudzonym na początku, a pierwotny stan podstawowy stał się podekscytowany na końcu. W pewnym momencie, przechodząc obok siebie, energie tych stanów będą równe, a więc szczelina między nimi się zmniejsza. To wystarczy, aby zobaczyć, że luka energetyczna musi się w pewnym momencie zamknąć.

Posiadanie hamiltonianów, którzy nie dojeżdżają do pracy, jest zatem niezbędnym warunkiem utrzymania luki otwartej, a zatem dla AQC.

James Wootton
źródło
1
Brzmi to dość przekonująco i wyraźnie. Czy możesz wyraźnie wyjaśnić, dlaczego nie można uniknąć przejścia podczas ewolucji adiabatycznej (co pozwoliłoby na zmianę charakteru stanu podstawowego, ale bez degeneracji)?
agaitaarino
4

Jeśli dwie macierze (w tym przypadku Hamiltonianowie) dojeżdżają, mają te same wektory własne. Tak więc, jeśli przygotujesz stan podstawowy pierwszego hamiltonianu, to (z grubsza rzecz biorąc) pozostanie stanem własnym podczas całej ewolucji adiabatycznej, a więc wydostaniesz to, co wkładasz. Nie ma to żadnej wartości.

Jeśli chcesz być nieco bardziej rygorystyczny, być może początkowy hamiltonian ma degenerację, która jest podnoszona przez drugi hamiltonian, i możesz mieć nadzieję, że system rozwinie się w unikalny stan podstawowy. Zauważ jednak, że degeneracja zostaje zniesiona w momencie, gdy druga niezerowa ilość drugiego hamiltonianu. Jakikolwiek efekt może mieć natychmiastowy. Uważam, że nie uzyskuje się odpowiedniej ewolucji adiabatycznej. Zamiast tego musisz zapisać swój stan początkowy jako superpozycję nowych stanów własnych, które zaczynają ewoluować z czasem, ale nigdy nie zwiększasz nakładania się swojego stanu ze stanem docelowym (stanem podstawowym).

DaftWullie
źródło
Zastanawiam się tylko, czy twoje pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Weźmy na przykład macierz tożsamości, która dojeżdża do każdego hamiltonianu. Ale z pewnością nie ma powodu, aby macierz tożsamości miała te same wektory własne, co arbitralny hamiltonian.
Turbotanten
Możesz rozłożyć tożsamość wiele na dowolnej podstawie, w tym na podstawie Hamiltona. Ale chodzi o to, że jest bardzo zdegenerowany, więc mówisz o moim drugim akapicie.
DaftWullie
3

σZt

Co więcej, nawet wykraczanie poza ścisłe granice AQC (np. Wyżarzanie kwantowe w otwartym układzie, QAOA itp.), Jeśli kierujący hamiltonian dojeżdża do pracy, nie może indukować przejść między stanami własnymi problemu hamiltonianu, ale jedynie zmienia fazę amplitud w funkcji falowej ; i potrzebujesz sterownika, który może wywoływać spięcia w celu zbadania przestrzeni wyszukiwania.

Davide Venturelli
źródło
1

H.jaH.fa

H.ja=(100-1)

H.p=(-100-0,1)

H.ja|1H.fa|0

ϵ
τmaxt(||H.ja-H.fa||2)ϵmisolzap(t)3))

Jest to podane i wyjaśnione w równaniu. 2 Tanburn i in. (2015) .

  • ϵ=0,1
  • ||H.ja-H.fa||2)=0,1
  • ||H.ja-H.fa||2)ϵ=1ϵ
  • τmaxt(1misolzap(t)3))

maxt
t=20τ/29

H.=929H.ja+2029H.p

H.=929(100-1)+2029(-100-0,1)

H.=(92900-929)+(-202900-2)29)

H.=(-112900-1129)

t=2029τmisolzap=0τ

Twierdzenie adiabatyczne nadal ma zastosowanie, ale gdy stwierdza, że ​​hamiltonian musi zmienić „wystarczająco powoli”, okazuje się, że musi zmienić „nieskończenie powoli”, co oznacza, że ​​prawdopodobnie nigdy nie uzyskasz odpowiedzi za pomocą AQC.

użytkownik1271772
źródło
Dzięki! Podoba mi się przykład Chociaż jest to nowy wyraz minimalnego czasu działania, którego nigdy wcześniej nie widziałem. Zazwyczaj w literaturze podaje się stan adiabatyczny gdzieΔ2(s)=(τmax0s1|ψ1(s)|reH.^(s)res|ψ0(s)|min0s1Δ2)(s);stτΔ2)(s)=(mi1(s)-mi0(s))2)
@Turbotanten: Dzięki za nagrodę. Mój dowód działa niezależnie od tego, czy używamy 1 / gap ^ 2 czy 1 / gap ^ 3. W obu przypadkach przerwa = 0 oznacza czas działania = nieskończoność. W twoim odczuciu możemy po prostu mieć „max_s” na zewnątrz, wtedy nie potrzebujemy „min_s” w mianowniku. Również odniesienie 2 do papieru Tanburn, z którym się połączyłem, daje wzór luki ^ 3, który jest nieco ściślej związany niż wzór luki ^ 2. Nadal popularne jest używanie (nieco luźniejszej granicy) luki ^ 2, głównie dlatego, że niektórzy ludzie nie widzieli najnowszej literatury na temat luki ^ 3.
user1271772,