Dowód nierówności informacyjnej Holevo

9

Załóżmy, że mam klasyczny kanał klasyczno-kwantowy W:X×YD(H), gdzie są zbiorami skończonymi, a jest zbiorem macierzy gęstości w skończonych wymiarach, złożonej przestrzeni Hilberta .X,YD(H)H

Załóżmy, że to rozkład równomierny na a to rozkład równomierny na . Następnie zdefiniuj dla dystrybucji na i napxXpyYp1Xp2Y informacje Holevo

χ(p1,p2,W):=H(x,yp1(x)p2(y)W(x,y))x,yp1(x)p2(y)H(W(x,y))

gdzie H jest entropią von Neumanna.

Chciałbym pokazać, dla

p1:=supp{χ(p,py,W)},p2:=supp{χ(px,p,W)}
że,
χ(p1,p2,W)χ(p1,py,W) and χ(p1,p2,W)χ(px,p2,W).

Jak dotąd nie jestem przekonany, czy stwierdzenie to jest prawdziwe. Nie poczyniłem dużych postępów w udowodnieniu tego, ale wydaje się, że jakaś nierówność trójkąta może zweryfikować twierdzenie.

Dziękujemy za wszelkie sugestie dotyczące tego, czy wypowiedź powinna się odbyć, oraz wskazówki, jak to udowodnić.

Stephen Diadamo
źródło
Jak sugeruje odpowiedź, zamierzałem użyć argmax, a nie supremum.
Stephen Diadamo

Odpowiedzi:

10

Wydaje się, że stwierdzenie to nie jest ogólnie prawdziwe. PrzypuszczaćX=Y={0,1}, H jest przestrzenią Hilberta odpowiadającą jednemu kubitowi, oraz W jest zdefiniowany jako

W(0,0)=|00|,W(0,1)=|11|,W(1,0)=|11|,W(1,1)=12|00|+12|11|.
If py is the uniform distribution, the optimal choice for p1 is p1(0)=1 and p1(1)=0, which gives χ(p1,py,W)=1, which is the maximum possible value. (I assume you mean to define p1 and p2 as the argmax of those expressions, not the supremum.) Likewise, if px is uniform, p2(0)=1 and p2(1)=0 is optimal, and the value is the same. However, χ(p1,p2,W)=0, so the inequality does not hold.
John Watrous
źródło