Dowód nierówności informacyjnej Holevo

Załóżmy, że mam klasyczny kanał klasyczno-kwantowy $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$, gdzie są zbiorami skończonymi, a jest zbiorem macierzy gęstości w skończonych wymiarach, złożonej przestrzeni Hilberta .$\mathcal{X},\mathcal{Y}$$\mathcal{D}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

Załóżmy, że to rozkład równomierny na a to rozkład równomierny na . Następnie zdefiniuj dla dystrybucji na i na$p_x$$\mathcal{X}$$p_y$$\mathcal{Y}$$p_1$$\mathcal{X}$$p_2$$\mathcal{Y}$ informacje Holevo

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

gdzie $H$ jest entropią von Neumanna.

Chciałbym pokazać, dla

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ że, $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

Jak dotąd nie jestem przekonany, czy stwierdzenie to jest prawdziwe. Nie poczyniłem dużych postępów w udowodnieniu tego, ale wydaje się, że jakaś nierówność trójkąta może zweryfikować twierdzenie.

Dziękujemy za wszelkie sugestie dotyczące tego, czy wypowiedź powinna się odbyć, oraz wskazówki, jak to udowodnić.

Wydaje się, że stwierdzenie to nie jest ogólnie prawdziwe. Przypuszczać$X = Y = \{0,1\}$, $\mathcal{H}$ jest przestrzenią Hilberta odpowiadającą jednemu kubitowi, oraz $W$ jest zdefiniowany jako

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ If $p_y$ is the uniform distribution, the optimal choice for $p_1$ is $p_1(0) = 1$ and $p_1(1) = 0$, which gives $\chi(p_1,p_y,W) = 1$, which is the maximum possible value. (I assume you mean to define $p_1$ and $p_2$ as the argmax of those expressions, not the supremum.) Likewise, if $p_x$ is uniform, $p_2(0) = 1$ and $p_2(1) = 0$ is optimal, and the value is the same. However, $\chi(p_1,p_2,W) = 0$, so the inequality does not hold.