Czy lokalna równoważność Clifforda ma bezpośrednią reprezentację graficzną stanów graficznych qudit o wymiarze innym niż pierwotny?

To pytanie jest kontynuacją poprzedniego pytania QCSE: „ Czy stany wykresów qudit są dobrze zdefiniowane dla wymiaru innego niż podstawowy? ”. Z odpowiedzi na pytanie wydaje się, że nie ma nic złego w definiowaniu stanów wykresu za pomocą$d$-wymiarowe qudity, jednak wydaje się, że inne aspekty definiujące stany grafowe nie rozciągają się podobnie na wymiar inny niż podstawowy.

W szczególności w przypadku stanów wykresu kubitowego jednym kluczowym aspektem ich rozpowszechnienia i zastosowania jest fakt, że: dowolne dwa stany wykresu są lokalnym odpowiednikiem Clifforda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewna sekwencja lokalnych uzupełnień, które przenoszą jeden wykres na drugi (w uproszczeniu niekierowane wykresy). Nie trzeba dodawać, że jest to niezwykle przydatne narzędzie w analizach kwantowej korekcji błędów, splątania i architektury sieci.

Rozważając $n$-qudit stany wykresu, wykres równoważny jest teraz ważony za pomocą macierzy przylegania $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$, gdzie $A_{ij}$ to waga krawędzi $(i,j)$ (z $A_{ij}=0$wskazując brak krawędzi). W przypadku qudit wykazano, że równoważność LC można podobnie rozszerzyć przez uogólnienie lokalnej komplementacji ($\ast_a v$) i włączenie operacji zwielokrotniania krawędzi ($\circ_b v$), gdzie:

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ gdzie $a, b = 1, \ldots, d-1$ i cała arytmetyka jest wykonywana modulo $p$.

Graficznie jest to reprezentowane przez następujące operacje (odtworzone z Ref. 2 ):

Jeśli jednak stan wykresu jest zdefiniowany dla qudits o wymiarach niepierwotnych, możemy zobaczyć, że te operacje (wydają się) nie reprezentują równoważności LC.

Na przykład weź stan qudit $|G\rangle$ przedstawił wykres $G$ na ryc. 1, zdefiniowany dla wymiaru qudit $d=4$, i pozwól $x=y=z=2$, takie że $A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$. W takim przypadku występ$\circ_2 1$ następnie $A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$, a zatem qudit $1$jest oddzielony od wszystkich innych qudit przy użyciu tylko operacji lokalnych. Oczywiście jest to błędne i występuje z powodu problemu dzielnik zera, jak wspomniano w poprzednim pytań odpowiedź .

Moje pytanie brzmi: jest tam jakikolwiek zestaw operacji wykres, który właściwie reprezentować lokalne równoważność Clifford dla państw wykresu qudit z drugorzędnych wymiaru?

Uwaga: Interesują mnie przede wszystkim operacje, które dotyczą bezpośrednio reprezentacji stanu jako pojedynczego wykresu ważonego, a nie możliwych rozkładów na wiele stanów wykresu pierwotnego, jak sugerowano w rozdz. 4.3 „ Absolutnie maksymalnie uwikłanych stanów graficznych Qudit ”.

Niepoprawne jest stosowanie arytmetyki modulo w tym kontekście. Zamiast tego należy zastosować arytmetykę pola skończonego. W$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$ gdzie $x^2 = x + 1$ i koniugacja $a$ jest zdefiniowany jako $\bar{a} = a^2$.

Tabele dodawania, mnożenia i koniugacji są następujące:

Na tym zdjęciu mamy $0 \equiv 0$, $1 \equiv 1$, $2 \equiv x$, i $3 \equiv x^2$ takie, że $2 \times 2 = 3$ i dlatego widoczna niespójność nie występuje.