Stany kwantowe to wektory jednostkowe… w odniesieniu do jakiej normy?

15

Najbardziej ogólną definicją stanu kwantowego, którą znalazłem, jest (przeformułowanie definicji z Wikipedii )

Stany kwantowe są reprezentowane przez promień w skończonej lub nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nad liczbami zespolonymi.

Ponadto wiemy, że aby uzyskać użyteczną reprezentację, musimy upewnić się, że wektor reprezentujący stan kwantowy jest wektorem jednostkowym .

Ale w powyższej definicji nie precyzują normy (ani iloczynu skalarnego) związanej z rozważaną przestrzenią Hilberta. Na pierwszy rzut oka myślałem, że norma nie jest tak naprawdę ważna, ale wczoraj zdałem sobie sprawę, że norma została wybrana wszędzie jako norma euklidesowa (2-norma). Nawet notacja bra-ket wydaje się być stworzona specjalnie dla normy euklidesowej.

Moje pytanie: dlaczego wszędzie stosowana jest norma euklidesowa? Dlaczego nie zastosować innej normy? Czy norma euklidesowa ma użyteczne właściwości, które można zastosować w mechanice kwantowej, których inni nie mają?

quantum-state notation unitarity mathematics Nelimee
źródło

2

Właściwie chciałem tylko dodać komentarz, ale nie mam na to reputacji: zauważ, że jak piszesz w swoim pytaniu - stany kwantowe są promieniami w przestrzeni Hilberta. Oznacza to, że nie są znormalizowane, ale że wszystkie wektory w przestrzeni Hilberta wskazujące w tym samym kierunku są równoważne. Wygodniej jest pracować ze stanami znormalizowanymi, ale fizyka jest w rzeczywistości ukryta w nakładaniu się stanów na siebie. Z tego powodu w definicji stanu nie ma żadnej normy.

Omri Har-Shemesh

6

Reguła Borna stwierdza, że co jest prawdopodobieństwem znalezienia układu kwantowego w stanie po pomiarze. Potrzebujemy sumy (lub całki!) Dla wszystkich aby wynosiła 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Żadna z nich nie jest obowiązującymi normami, ponieważ nie są one jednorodne . Możesz uczynić je jednorodnymi, wykonując pierwiastek kwadratowy:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

możesz to uznać za normę euklidesową i uogólnienie normy euklidesowej na domenę niedyskretną. Możemy również zastosować inną normę:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

dla pewnej dodatniej określonej macierzy / funkcji A.

Jednakże-norm znie być użyteczne, ponieważ na przykład: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

nie musi być 1.

W ten sposób norma euklidesowa jest wyjątkowa, ponieważ 2 jest siłą w regule Borna, która jest jednym z postulatów mechaniki kwantowej.

użytkownik1271772
źródło

Ta odpowiedź jest związana z moim komentarzem do jednego @ DaftWullie . Czyli stosowana jest norma euklidesowa, ponieważ postulat pomiaru mówi nam, że jest to jedyna poprawna wartość ?

p

$p$

Nelimee,

2

Jest to jedyna p-norma, która ma znaczenie. Chcemy, aby suma prawdopodobieństw wynosiła 1 (co jest prawem matematyki), a prawdopodobieństwa są definiowane przez kwadrat funkcji falowej (która jest postulatem mechaniki kwantowej zwanej regułą Borna).

user1271772,

@Nelimee: Dziękujemy za wiadomość na czacie. Nie mogę odpowiedzieć, ponieważ nie mogę czatować przez 2 kolejne dni. Pierwszą odpowiedzią było to, że przeczytałem twoje pytania „Dlaczego wszędzie stosuje się normę euklidesową? Dlaczego nie zastosować innej normy?” i od razu rozważono przypadek, w którym poprawna norma nie jest normą euklidesową, ale inną 2-normą, która jest 2-normą w niedyskretnym zbiorze zmiennych. Pomyślałem, że to wystarczy, aby wyjaśnić, że norma euklidesowa nie jest jedyną prawidłową normą i dlaczego norma euklidesowa jest stosowana, gdy jest. Ale kiedy zauważyłem, że daftwullie dostał głos, a ja nie, ja

użytkownik1271772,

2

więc twoja odpowiedź brzmi „z powodu reguły Borna”? Czy to nie tylko przesuwa pytanie do „dlaczego reguła Born wykorzystuje moc 2?”?

DaftWullie

1

Wydaje się, że „co było pierwsze, kurczak czy jajko?” walizka.

user1271772,

8

Pewna terminologia wydaje się tutaj nieco pomieszana. Stany kwantowe są reprezentowane (w skończonej przestrzeni Hilberta) przez złożone wektory o długości 1, gdzie długość jest mierzona za pomocą normy euklidesowej. Nie są one unitarne, ponieważ unitary to klasyfikacja macierzy, a nie wektora.

Stany kwantowe są zmieniane / ewoluowane zgodnie z pewną macierzą. Biorąc pod uwagę, że stany kwantowe mają długość 1, okazuje się konieczne i wystarczające, aby mapy stanów czystych do stanów czystych były opisywane przez macierze jednolite. Są to jedyne matryce, które zachowują normę (euklidesową).

Z pewnością jest to ważne pytanie „czy moglibyśmy zastosować inną ( ) normę dla naszych stanów kwantowych?” Jeśli następnie sklasyfikujesz operacje, które odwzorowują stany znormalizowane na stany znormalizowane, są one niezwykle ograniczone. Jeśli , jedynymi prawidłowymi operacjami są macierze permutacji (z różnymi fazami na każdym elemencie). Fizyka byłaby o wiele bardziej nudna. $p$ $p\neq 2$

$p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Jeśli chcesz uzyskać więcej informacji, możesz zajrzeć tutaj .

DaftWullie
źródło

Dzięki za szczegóły terminologiczne! Masz rację, źle wykorzystałem warunki.

Nelimee

Jednak pytanie jest w porządku, pod warunkiem, że zamienisz „unitarny” na „vector unit”

użytkownik1271772,

Ale ta odpowiedź nie odpowiada, dlaczego używamy normy euklidesowej. Zrozumiałem, że inne normy nie są wygodne, ale tak naprawdę nie mamy kontroli nad tym, co jest „wygodne” w ramach praw fizyki, a co nie, prawda?

Nelimee

@Nelimee Nie jest to niewygodne. Chodzi o to, że wiele operacji nie istnieje, jeśli nie używasz 2-norm. Operacje takie jak pierwiastek kwadratowy z nie, które możemy wyjść, wykonać eksperyment i obserwować. To wyklucza wszystko oprócz 2-norm

DaftWullie

1

jak w przypadku całej fizyki! Wszystkie teorie są tymi, które najlepiej pasują do dostępnych danych.

DaftWullie

5

$\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

Federico Poloni
źródło

Poparłem twoją odpowiedź (która jest świetną pierwszą odpowiedzią na QCSE!), Ale czy musi to być 2-norma? Mówisz, że 1-norma i 3-norma są nieważne, ale co z normą w mojej odpowiedzi, która jest kwadratem 2-normy?

user1271772,

3

@ user1271772 Dzięki! Jeśli dobrze rozumiem, sugerowana funkcja nie jest nawet normą wektorową, ponieważ nie jest jednorodna.

Federico Poloni

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

jest dodatni jednorodny z , dlaczego musi być z ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

user1271772

@ użytkownik1271772 jest wymaganiem w definicji. Jednym z aksjomatów norm wektorowych jest 2. p (av) = | a | p (v) (jest absolutnie jednorodny lub absolutnie skalowalny) (w celu szybkiego odniesienia sprawdź stronę Wikipedii, do której odsyłam powyżej). Oczywiście jest to tylko argument tautologiczny „ponieważ jest tak zdefiniowany” i rozumiem, że fizyk może chcieć bardziej fizycznego powodu.

k = 1

$k=1$

Federico Poloni

4

Elegancki argument można uzyskać, pytając, jakie teorie możemy zbudować, które są opisane przez wektory , gdzie dozwolonymi transformacjami są mapy liniowe , prawdopodobieństwa są podane przez jakąś normę, a prawdopodobieństwa muszą być zachowane przez te mapy. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Okazuje się, że w zasadzie są tylko trzy opcje:

Teorie deterministyczne. Zatem nie potrzebujemy tych wektorów, ponieważ zawsze jesteśmy w jednym określonym stanie, tzn. Wektory są i tym podobne, a są tylko permutacjami. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Klasyczne teorie probabilistyczne. Tutaj używamy normalnych i stochastycznych map. W są prawdopodobieństwa. $1$ $v_i$
Mechanika kwantowa. W tym przypadku używamy transformacji normalnej i jednostkowej. W są amplitudy. $2$ $v_i$

To jedyne możliwości. Dla innych norm nie ma interesujących przekształceń.

Jeśli chcesz uzyskać bardziej szczegółowe i ładne wyjaśnienie tego, Scott Quantcast „Quantum Computing od Demokryta” ma wykład na ten temat , a także artykuł .

Norbert Schuch
źródło

2

Inne odpowiedzi dotyczyły powodu, dla którego w odniesieniu do której przestrzeni należy użyć, ale nie wagi. $p=2$ $L^p$

Mógłbyś wstawić pustynną dodatnią macierz , aby iloczyn wewnętrzny był . Ale to niewiele zyskuje. Jest tak, ponieważ równie dobrze możesz zmienić zmienne. Dla ułatwienia rozważ przypadek, gdy jest przekątna. z przypadkiem ukośnym, który interpretowałby jako prawdopodobieństwo zamiast . więc dlaczego nie zmienić zmiennych na . Możesz myśleć o tym jak o funkcjach na przestrzeni punktów, gdzie każdy punkt jest ważony przez . $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

W przypadku ciągłego 1 zmiennej, tak, możesz również użyć . po prostu ponownie waży długości. To wciąż idealnie dobra przestrzeń Hilberta. Problem polega jednak na tym, że tłumaczenie miało być symetrią, a zrywa. Równie dobrze może nie używać . Dla niektórych celów ta symetria nie jest obecna, więc masz . $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

W niektórych przypadkach przydatne jest nie przechodzenie do standardowego formularza. Zmienia się sposób wykonywania niektórych obliczeń. Na przykład, jeśli robisz jakieś cyfry, możesz zmniejszyć liczbę błędów poprzez tego rodzaju przetasowania, aby uniknąć naprawdę małych lub dużych liczb, które są trudne dla twojej maszyny.

Trudne jest upewnienie się, że śledziłeś, kiedy zmieniłeś zmienne, a kiedy nie. Nie chcesz się mylić między przejściem na standardowy produkt wewnętrzny, wykonując pewne jednostkowe i zmieniające się zmienne a próbą zrobienia tego w jednym kroku. Prawdopodobnie omyłkowo zrzucisz czynniki itd., Więc bądź ostrożny. $\sqrt{M_{ii}}$

AHusain
źródło

-1

Zdefiniowana tutaj norma euklidesowa w przestrzeni wymiarowej nie jest jedyną normą stosowaną dla stanów kwantowych. $n$

Stanu kwantowego nie trzeba definiować w n-wymiarowej przestrzeni Hilberta, na przykład stany kwantowe dla oscylatora harmonicznego 1D są funkcjami których orto-normalność jest zdefiniowana przez: $\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

Jeśli otrzymujemy: $i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

ponieważ całkowite prawdopodobieństwo musi wynosić 1.
Jeśli , otrzymujemy 0, co oznacza, że funkcje są ortogonalne. $i\ne j$

Norma euklidesowa, jak zdefiniowano w linku, który podałem, dotyczy raczej stanów kwantowych na zmiennych dyskretnych, gdzie jest pewną liczbą policzalną. W powyższym przypadku (która jest liczbą możliwych wartości, które może być ) jest niepoliczalne, więc norma nie pasuje do definicji podanej dla normy euklidesowej w tempie wymiarowym. $n$ $n$ $x$ $n$

Możemy również zastosować operator pierwiastka kwadratowego do powyższej normy, a mimo to mielibyśmy wymaganą właściwość, którą , a normę euklidesową można wtedy traktować jako szczególny przypadek tej normy , w przypadku, gdy można wybrać tylko z pewnej policzalnej liczby wartości. Powodem, dla którego stosujemy powyższą normę w mechanice kwantowej jest to, że gwarantuje ona integrację funkcji prawdopodobieństwa z wartością 1, która jest prawem matematycznym opartym na definicji prawdopodobieństwa. Gdybyś miał jakąś inną normę, która może zagwarantować, że wszystkie prawa teorii prawdopodobieństwa są spełnione, byłbyś w stanie zastosować tę normę. $\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$

użytkownik1271772
źródło

@Nelimee: Nie mogę odpowiedzieć na twoją wiadomość czatu „Nie otrzymałem sensu twojej odpowiedzi za pomocą 0 głosów”, ponieważ zostałem zablokowany na czacie przez kolejne 2 dni, ale której części tej odpowiedzi nie otrzymujesz?

user1271772,

@Nelimee? Jestem teraz na -1, więc doceniłbym informację, która część była niejasna

użytkownik1271772

To, co piszesz, to tylko euklidesowa norma w nieskończonych wymiarach. Twoje stwierdzenie „Norma euklidesowa w przestrzeni n-wymiarowej, jak tu zdefiniowano, nie jest jedyną normą stosowaną dla stanów kwantowych”. wprowadza w błąd w takim stopniu, w jakim się myli.

Norbert Schuch,

@Norbert. (1) jest to KWADRAT normy euklidesowej. (2) tutaj jest NIEZWYKLE nieskończone. Nie jest już n-wymiarowy, nawet dla niezliczonej liczby nieskończonych n.

user1271772,

@ (1) To dlatego, że zapomniałeś podać pierwiastek kwadratowy. Również pierwiastek kwadratowy z wynosi . (2) To nie jest prawda. , przestrzeń normalizowanych funkcji z tą normą, jest przestrzenią możliwą do oddzielenia, tzn. Ma niezliczoną podstawę.

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

Norbert Schuch

Stany kwantowe to wektory jednostkowe… w odniesieniu do jakiej normy?

Odpowiedzi: