Czy superpozycja kontrolera zawalenia bramy warunkowej?

W Q-Kit stworzyłem prosty obwód do zrozumienia bramek warunkowych i stanów wyjściowych na każdym kroku:

1. Na początku jest wyraźny stan 00, który jest wejściem
2. Pierwszy kubit przechodzi przez bramę Hadamarda, przechodzi w superpozycję, 00 i 10 stają się jednakowo możliwe
3. Pierwszy kubot CNOT jest drugim, prawdopodobieństwo 00 jest niezmienione, ale 10 i 11 są zamienione
4. Pierwszy kubit ponownie przechodzi Hadamarda, a prawdopodobieństwo 00 jest podzielone między 00 a 10, a 11 między 01 a 11, tak jakby pierwszy kubit wszedł w superpozycję ze stanu ustalonego

Czy wynik nie powinien być równo rozdzielony 00 i 01? Pierwszy kubit przekazuje Hadamarda dwa razy, co powinno umieścić go w superpozycji i wrócić do początkowego 0. Brama CNOT nie wpływa na kubit kontrolera, więc jego istnienie w ogóle nie powinno wpływać na pierwszy kubit, ale w rzeczywistości powoduje, że zachowuje się tak, jakby nie był już w superpozycji. Czy użycie qubit jako kontrolera podważa jego superpozycję?

$$\begin{eqnarray*} \mid 0 0 \rangle &\to& \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 1 0 \rangle\\ &\to& \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 1 1 \rangle\\ &\to& \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 1 1 \rangle + \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 1 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 0 1 \rangle \end{eqnarray*}$$

Jeśli druga linia była $(\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 1 \rangle) \otimes v$, a następnie stosując $H$ znowu by to zabrał $\mid 0 \rangle \otimes v$, ale to nie jest. Są zaplątani.

Wygląda na to, że myślisz, że CNOT nie wpływa na pierwszy kubit, więc dwa ostatnie powinny dojeżdżać.

$$\begin{eqnarray*} H_1 CNOT_{12} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ CNOT_{12} H_1 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$$

Cały czas jest w superpozycji. Nie było zapaści. To nieoczywista komutacja. Gdybyś miał$Id \otimes U$, byłoby to coś dosłownie nie wpływającego na pierwszy kubit i dojeżdżałoby $H_1$. Ale CNOT nie ma takiej postaci.

Możesz myśleć o tym w ten sposób na początku, że masz 2 kubity. Po zastosowaniu pierwszego$H$nadal masz 2 kubity. Następnie po CNOT są zaplątani, więc masz 1 qudit$d=4$ponieważ zostały połączone. Potem ostatni$H$ pozostawia to z $d=4$. Przy każdej bramce robisz najgorszy scenariusz struktury splątania.

Nie, użycie kontrolowanej bramki nie mierzy kontroli.

W pewnym sensie idea, że ​​kontrolowane bramki byłyby wdrażane poprzez pomiar, jest dokładnie wstecz. Jest to pomiar realizowany w kategoriach kontrolowanych bramek, a nie odwrotnie. Pomiar jest tylko interakcją (tzn. Kontrolowaną bramą) między komputerem a środowiskiem, której cofnięcie jest trudne.

Jako prostszą analogię, rozważ bramę Z. Bramka Z stosuje współczynnik fazy -1 do$|1\rangle$stan kubita. Wysyła$a|0\rangle + b|1\rangle$ do $a|0\rangle - b |1\rangle$. Można opisać ten efekt w sposób warunkowy: jeśli kubit znajduje się w$|1\rangle$stan, a następnie brama Z fazuje kubit o -1. Ale „jeśli” w tym opisie nie oznacza, że ​​musieliśmy zmierzyć kubit, a następnie zdecydować, czy zastosować współczynnik fazy -1, to tylko nieco mylący opis.

Ten sam pomysł dotyczy CNOT. Tak, możesz to opisać w sposób „jeśli-to”. Ale można również opisać to jako „zastosować współczynnik fazy -1 do$|1\rangle \otimes |-\rangle$ stan ". Ten drugi opis wyjaśnia, że ​​pomiar nie jest konieczny.

1. Na początku jest wyraźny stan 00, który jest wejściem
2. Pierwszy kubit przechodzi przez bramę Hadamarda, przechodzi w superpozycję, 00 i 10 stają się jednakowo możliwe

Poprawny.

3. Pierwszy kubot CNOT jest drugim, prawdopodobieństwo 00 jest niezmienione, ale 10 i 11 są zamienione

Mówiąc ściślej, 10 staje się 11.

4. Pierwszy kubit przechodzi ponownie Hadamarda, a prawdopodobieństwo 01 jest podzielone między 01 i 11, a 11 między 01 i 11, tak jakby pierwszy kubit wszedł w superpozycję ze stanu ustalonego

Błędny. Nie ma tu 01 , tylko 00 i 11 , a po zastosowaniu Hadamarda na pierwszym kubicie masz superpozycję 4 stanów: 00 , 10 , 11 i 01 ,

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)\rightarrow\frac{1}{2}(|00\rangle+|10\rangle+|01\rangle-|11\rangle)$$