Czy komputer kwantowy może łatwo określić czas mieszania grupy kostek Rubika?

Urzędnicy turniejów kostki Rubika używali dwóch różnych sposobów mieszania kostki. Obecnie, to złamania kostki siebie i zmontować cubies w kolejności losowej grupy kostki Rubika . Wcześniej stosowali losową sekwencję ruchów Singmaster .G g ⟨ U , D , C , B , L , R $\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Jednak długość słowa - liczba losowych ruchów potrzebnych do pełnego przeskoczenia kostki, tak że każde z jest mniej więcej tak samo prawdopodobne - jest obecnie nieznana, ale musi być co najmniej 20 . Tę długość t można nazwać czasem mieszania losowego spaceru na wykresie Cayleya grupy kostek Rubika wygenerowanym przez ruchy Singmastera \ langle U, D, F, B, L, R \ rangle .$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Czy komputer kwantowy miałby jakieś zalety w określaniu czasu mieszania $t$ grupy kostek Rubika?

Myślę, że możemy mieć jakąś sprytną sekwencję ruchów Hadamarda, aby utworzyć rejestr $\vert A \rangle$ jako jednolitą superpozycję na wszystkich $\Vert G\Vert$ takich konfiguracjach; dlatego zastosowanie dowolnej sekwencji ruchów Singmastera do $\vert A \rangle$ nie zmienia $\vert A \rangle$ .

Jeśli mamy przypuszczenie„co mieszania czas jest, możemy również stworzyć kolejny rejestr jako jednolity superpozycję wszystkich słów Singmaster o długości , a warunkowo zastosować każdą taką słowo do ułożonej , miejmy nadzieję, że otrzymamy stan taki, że jeśli , każda konfiguracja będzie równie dobrze zmierzona. Jeśli , to nie chodzilibyśmy wzdłuż wykresu Cayley'a wystarczająco długo, a gdybyśmy t | B ⟩ t ' | A ′ ⟩ | B ⟩ | ⟩ | ⟩ ‖ G ‖ t ' < t G | $t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, konfiguracje „bliższe” rozwiązanemu stanowi byłyby bardziej prawdopodobne. Jakaś sprytna transformata podobna do Fouriera na może być w stanie zmierzyć, jak równomiernie rozłożona jest .| $\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Wydaje mi się, że komputer kwantowy może być dobry. Na przykład, jeśli nie został równomiernie wymieszany przez wszystkie słowa w , wówczas niektóre konfiguracje są bardziej prawdopodobne niż inne, np. jest bardziej „stały”; natomiast jeśli został w pełni miesza przez wszystkich spacery, potem jest bardziej „zrównoważony”. Ale moje wyobrażenie na temat zarówno algorytmów kwantowych, jak i łańcuchów Markowa nie jest wystarczająco silne, aby dotrzeć bardzo daleko.| B ⟩ | ⟩ | ⟩ | $\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

EDYTOWAĆ

Porównaj to pytanie z problemem kwantowej weryfikacji węzła.

Podczas weryfikacji węzła kwantowego kupiec otrzymuje monetę kwantową jako stan wszystkich węzłów, które mają określony niezmiennik. Aby zweryfikować monetę kwantową, stosuje łańcuch Markowa do przejścia do siebie samego (jeśli jest to ważna moneta). Musi zastosować ten łańcuch Markowa i zmierzyć wynik co najmniej razy, ale w przeciwnym razie ma nie ma możliwości samodzielnego zbudowania (aby nie mogła sfałszować monety). Jeśli więc otrzyma prawidłową monetę, otrzyma stan, którego nie jest w stanie sama wyprodukować , wraz z łańcuchem Markowa jako macierz i przypuszczalnie zna czas mieszaniaM | K ⟩ t | K ⟩ M t | K $\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; musi sprawdzić, czy jest prawidłowy.$\vert K \rangle$

W obecnym pytaniu prawdopodobnie dość łatwo jest wygenerować wszystkich permutacji kostki Rubika. Obwód kwantowy odpowiadający łańcuchowi Markowa, nazywając go , ruchami Singmastera, jest prawdopodobnie dość łatwy do zbudowania. Jednak czas mieszania jest nieznany i należy go ustalić.$\vert RC \rangle$$S$$t$

To interesujące pytanie, które jest lepsze niż większość „czy istnieje algorytm kwantowy dla x?” pytania. Nie znam istniejącego algorytmu kwantowego. Pozwól mi opisać, co moim zdaniem byłoby typową pierwszą próbą i dlaczego to się nie udaje. Na koniec opiszę kilka rzeczy, które mogą doprowadzić do pewnych ulepszeń.

Pierwsza próba na algorytmie

Powiedzmy, że chcę przetestować konkretny czas mieszania . Mam zamiar utworzyć jeden rejestr, który będzie zawierał wystarczającą przestrzeń roboczą, aby pomieścić dowolną możliwą konfigurację kostki Rubika. Stanem początkowym jest stan produktu odpowiadający stanowi początkowemu kostki.R $t$$RC$

Potem zrobię ancilla, od do . Każdy z nich ma taki sam rozmiar jak liczba możliwych ruchów Singmastera i jest przygotowany jako jednolita superpozycja we wszystkich możliwych elementach bazowych. Następnie dla każdego , stosujemy kontrolowany unitarny od do gdzie rejestr określa, który ruch Singmaster ma być zastosowany na .A 1 A t i = 1 , … t A i R C A i R $t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Po tym wszystkim, jeśli popatrzymy na , powinien on być w stanie maksymalnie wymieszanym, jeśli mieszanie przebiegło zgodnie z oczekiwaniami. Problem polega na tym, jak sprawdzić, czy to wyjście jest stanem maksymalnie mieszanym. Istnieją przydatne techniki, takie jak ta , ale jakiej dokładności wymagamy (tj. Ile powtórzeń?). Myślę, że będziemy potrzebować aby się upewnić.| A | $RC$$|A|^t$

W rzeczywistości ten sposób robienia rzeczy jest tak samo zły jak robienie tego klasycznie: możesz zastąpić stan początkowy każdego przez i nie zmieniłoby to wyniku . Ale tak naprawdę to tak, jakby za każdym razem wybierać losowo i uruchamiać wiele razy, sprawdzając prawidłowy rozkład wyjściowy.I / 2 | A i $A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Możliwe ulepszenia

• Działa jak opisano Gęstość wyjściowa macierzy (na ) musi być przekątnej. Oznacza to, że równomierna superpozycja we wszystkich stanach bazowych jest stanem własnym wtedy i tylko wtedy, gdy system jest maksymalnie wymieszany. Zrobiłbym, gdyby można połączyć tę obserwację z jakimś rodzajem wzmocnienia amplitudy, aby uzyskać łagodne przyspieszenie. Zauważ, że bardzo szybko tworzy różnicę od jeśli stan nie jest wektorem własnym.R C | U ⟩ ń k | U ⟩ | U $\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Poza tym prawdopodobnie musisz zrobić coś mądrzejszego z rejestrami ancilla. Istnieje pewna nadzieja, że ​​może to być możliwe, ponieważ w kostce Rubika jest dość dużo struktury grupowej. Jedną z rzeczy, które można spróbować jest sprawdzenie, czy można zastąpić wszystkie rejestrów ancilla z jednego rejestru, stosuje Hadmard bramy na każdym qubitu rejestru pomiędzy każdej rundzie kontrolowanych-unitaries. Może być tak, że wszystko to zapewnia oszczędność wydajności pod względem liczby kubitów w porównaniu z moją pierwotną sugestią. Może nawet tego nie zrobić.$t$

Czy którekolwiek z nich działają bezpośrednio, nie wiem. Uważam jednak, że kluczowymi zasadami jest znalezienie użytecznej struktury grupy i znalezienie sposobu na zastosowanie amplitudy amplitudy.

Przydatne może być przeczytanie o projektach jednolitych . Jest to z pewnością odrębny problem od tego, o którym tutaj mówimy, ale niektóre narzędzia techniczne mogą być przydatne. Ogólnie rzecz biorąc, chodzi o to, że zestaw unitaries jest -design jeżeli losowo zastosowanie tych unitaries pozwala symulować w pełni losowe Jednostkowej (w skład środka Haar) w funkcji wyjścia , która po rozwinięciu za pomocą szeregi Taylora, są dokładne do stopnia . Przybliżony gra tutaj jest to, że jeśli wziąć unitaries reprezentujących sekwencję Singmaster ruchów jak , to byłoby wystarczające, jeśli ten zestaw był 2-design (jeśli maszt f t t { U } Tr ( ρ 2$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ poprawne, gotowe).

(CW, aby uniknąć powtórzeń od odpowiedzi własnej)

Nie może być interaktywny sposób na obie strony, aby zawęzić w sprawie wartości , w ślad za @ odpowiedź DaftWullie i komentarze @Steven Sagona użytkownika. Mój formalizm jest słaby, ale mam nadzieję, że pomysł się uda ...$t$

Na przykład, zadzwoń do dwóch stron Alice i Bob. Strony muszą współpracować i postępować uczciwie zgodnie z protokołem.

Alice wie, jak przygotować dwa stany, i | 1 ⟩ . Tutaj, | 0 ⟩ jest jednolita superpozycji nad kombinacjami wszystkie kostki Rubika, a | 1 ⟩ jakiś inny stan małpa z tej samej liczby qubitach (takich jak stan odpowiadający rozwiązanych kostki Rubika lub jednolitej nakładania na kilku dużych podgrup G ). Bob wie, jak zastosować macierz M do stanu kwantowego, gdzie $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$ odpowiada jednemu krokowi wszystkich ruchów Singmaster (w razie potrzeby z pomocnikami).

Alice i Bob chcą pokazać, że czas mieszania grupy kostek Rubika w ruchach Singmastera wynosi co najwyżej r . Alicja i Bob powtórzyć następujących s razy.$t$$r$$s$

1. Alicja trzepie monety , i zapewnia | I ⟩ Bobowi$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob powtarza razy, aby zastosować M do | A i and i za każdym razem mierzy projektor.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Jeśli projektor jest dla każdego r iteracji, następnie Bob mówi, i = 0 . Jeśli projektor nie jest 1 dla co najmniej jednego z r iteracji, a następnie Bob mówi, że Alice i = 1 .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Jeśli , wówczas każdy z Boba r iteracji w kroku 2 nie zmienia | 0 ⟩ - ponieważ z definicji | 0 ⟩ jest eigenstate matrycy Boba, a matryca Boba właśnie permutuje stany między sobą. Jeśli i = 1 , to stan małpy | 1 ⟩ jest nie eigenstate projektora Boba, a szansa, że 1 nie będą mierzone rośnie szybko z r . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Tak więc, jeśli Bob dokładnie przewidzieć na s iteracji, prawdopodobieństwo sukcesu rośnie wykładniczo wraz z s i Boba R jest na tyle duża, aby odróżnić stan kostki Rubika ważnego ze stanu małpy.$i$$s$$s$$r$

Nie wiem jak daleko od siebie musi być od | 0 ⟩ . Nie wiem też, czy można usunąć interakcję.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Początkowo rozważmy niektóre rejestry i operatorów.

1. Rejestr $\vert A\rangle$ , Który koduje superpozycji stanów kostki (przykład permutację sześcianu $G$ );
2. Operator $U$ , który działa na $\vert A\rangle$ aby zmapować ket all-0 $\vert 00\cdots 0\rangle$ do równomiernego nakładania nad wszystkimi $\Vert G\Vert$ państw;
3. Rejestr $\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$ , który koduje superpozycji zestawu Singmastera przenosi się do zastosowania w danym miejscu (np superpozycji słowami Singmastera ruchów o długości $k$ );
4. Operatory $V$ i $V^{-1}$ , które działają na $\vert B\rangle$ mapować ket wszystko za 0 $\vert 00\cdots 0\rangle$ do równomiernego nakładania wszystkich $18^k$ słów Singmastera ruchów o długości $k$ (i na odwrót); i
5. (Kontrolowany) operator $W$ , który stosuje ruch Singmastera $b$ do danej pozycji kostki.

Jeśli $\vert A\rangle$ znajduje się w jednolitym superpozycji nad wszystkimi elementami $G$ , a następnie $\vert A\rangle$ znajduje się w stanie własnym $W$ , a powtarzające się zastosowania $W$ nie zostaną cofnięte, aby wpłynąć na $\vert B\rangle$ .

Oznacza to, że $V^{-1}$ powinien zwrócić $\vert B\rangle$ w powyższym obwodzie do ket all-zer $\vert 00\cdots 0\rangle$ .

Jednak , jak zauważył @DaftWullie, jeśli $\vert u\rangle$ jest nie w eigenstate, wówczas różnica między $\vert u \rangle$ i $\rho^k \vert u\rangle$ narasta bardzo szybko - wierzę, prędkość, przy której różnica ta narasta zależy ściśle od warunków mieszania operatora będącego przedmiotem zainteresowania.

Zatem jeśli jesteśmy w stanie przygotować stan $\vert A\rangle$ Że jest zaburzony z równomiernym rozkładzie, takie, że $\vert A\rangle$ Nie jest eigenstate, a następnie powtarzane aplikacje $W$ będzie szybko zbudować różnicy i $V^{-1}\vert B\rangle$ nie może być all-ket zera.

Gdybyśmy mieli funkcję $F$ działającą na $\vert A\rangle$ I qubit odpowiedź $\vert C\rangle$ , który określa, na przykład, czy część mieszająca $\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$ od położenia kostki Rubika jest mniejsza niż pewien próg $\delta$ , i używać tej $F$ kontrolować obrót $\vert A\rangle$ , więc uważam, że $V^{-1}\vert B\rangle$w powyższym obwodzie nie będzie odczytywał ket z zerami, a zamiast tego prawdopodobnie będzie odbiegał od ket z zerami w sposób zależny tylko od $\delta$ i czasu mieszania grupy kostek Rubika z zespołem generującym Singmaster.

To znaczy oczekuję pomiaru $\vert B\rangle$ w powyższy układ będzie czytać $\vert 00000\cdots000101101\rangle$ lub coś podobnego, gdzie indeks pierwszego $1$ zależy wyłącznie od czasu mieszania i progu $\delta$ .