Jak skonstruować Z-element z kontrolowanych Z-podstaw z bramek elementarnych?

9

Aby zaimplementować pewien algorytm kwantowy, muszę zbudować bramę Z-kubit (w tym przypadku trzy-kubit) sterowaną Z z zestawu bramek elementarnych, jak pokazano na poniższym rysunku. Brama Z kontrolowana przez trzy kubity. .

Bramy, z których mogę skorzystać, są

  • bramy Pauli X,Y,Z i wszystkie ich moce (tj. wszystkie obroty Pauliego aż do współczynnika fazowego),
  • exp(iθ|1111|) (obrót wokół |1111| rzutnik multimedialny),
  • H (Hadamard),
  • CX (pojedynczy Qubit-kontrolowany X lub CNOT),
  • CZ (pojedynczy qubit kontrolowany-Z), i
  • S. (ZAMIANA).

Jak mogę budować z tych bram trzy-kubit kontrolowany Z? Przeczytałem kilka artykułów na temat rozkładów obwodów, ale żaden z nich nie dał mi jasnej i zwięzłej odpowiedzi.

Dyon J Don Kiwi van Vreumingen
źródło
Czy twój czwarty rejestr powinien mieć Z zamiast czarnego koła?
user1271772,
1
@ user1271772 Oba są w porządku. Ponieważ kontrolowane bramki Z są symetryczne w używanych kubitach (tzn. Można zamienić dwa kubity, a efekt bramki pozostanie taki sam), notacja bez uporządkowania, jak ta z czarnymi kropkami, została uznana za bardziej odpowiednią w najnowszej literaturze.
Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

Odpowiedzi:

5

(EDYCJA: Poprawiona do 14 CNOT.)

Można tego dokonać za pomocą 14 CNOT plus 15 rotacji pojedynczych kubitów Z i bez dodatkowych kubitów.

Odpowiedni obwód to

wprowadź opis zdjęcia tutaj

gdzie ± bramy są obrotami

Rz(±π/16)(1e±iπ/8)


Pochodzenie:

Korzystając z procedury opisanej w https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 1 , dowolna bramę diagonalną - a tym samym w szczególności bramę CCCZ - można rozłożyć pod względem np. CNOT i bramek ukośnych o jednym kubicie, gdzie CNOT można optymalizować samodzielnie, stosując klasyczną procedurę optymalizacji.

Odnośnik zapewnia obwód wykorzystujący 16 CNOT dla dowolnych ukośnych bramek 4-kubitowych (ryc. 4).

Można to poprawić, jeśli dowolne pary kubitów można połączyć z 14 kubitami. W przypadku najbliższych sąsiadów z okresowymi (otwartymi) warunkami brzegowymi można to zrobić za pomocą 16 (18) CNOT. Odpowiednie obwody można znaleźć na https://epub.uni-regensburg.de/1511/ 1 , ryc. 5.2, 5.4 i 5.5, i można je np. Uzyskać stosując metody konstruowania krótkich sekwencji Graya.

Liczba bramek jednububowych wynosi zawsze 15.


Uwaga: Chociaż w zasadzie może istnieć prostszy obwód (wspomniany obwód został zoptymalizowany z myślą o bardziej ograniczonej architekturze obwodu), powinien być bliski optymalnego - obwód musi utworzyć wszystkie stany postaci iIxi dla dowolnego nietrywialnego podzbioru I{1,2,3,4}, a jest ich 15 na 4 kubity.

Należy również pamiętać, że ta konstrukcja w żadnym wypadku nie musi być optymalna.


1 Uwaga: Jestem autorem

Norbert Schuch
źródło
I czy użycie bramek Rx (lub Ry) zamiast bram Rz sprawiłoby, że byłaby to brama kontrolowana przez X-kubit-X (lub kontrolowana Y)?
Sierox
@Serox Musisz tylko przekształcić Hadamarda w dolny kubit, tzn. Odpowiadające mu CNOT staną się CZs, a obroty w dolnym kubicie staną się obrotami X.
Norbert Schuch,
6

Możesz wdrożyć n-kontrolowane qit Uprzez obwód podany w tej odpowiedzi . Po prostu wymieńU przez Z. Wymaga to jednak bramek CCNOT (Toffoli) i masz kilka opcji, jak zaimplementować CCNOT przy użyciu bramek elementarnych .

użytkownik1271772
źródło
2
To daje obwód o potencjalnie nadmiernej głębokości. Może OP chce mieć płytszy obwód z ustawioną bramą. Można wykonać automatyczną procedurę w celu umiarkowanego zmniejszenia rozmiarów obwodów.
AHusain
@AHusain: Jaka jest procedura automatyczna?
user1271772,
2
Wykorzystuje wyniki teorii automatycznych grup, więc to była gra słów. Wyjaśnienie pójdzie gdzie indziej; nie krótki komentarz.
AHusain
Okay @AHusain, zadam pytanie dla Ciebie!
user1271772,
5

Oto konstrukcja CCCZ, która wykorzystuje 29 bram :

obwód

Jeśli możesz używać pomiaru i klasycznego przekazywania, liczbę bramek można zmniejszyć do 25 :

obwód

(Bramki Hadamarda można w razie potrzeby zastąpić pierwiastkami kwadratowymi Y).

A jeśli pozwolisz mi wykonać bramki Kontrolowane-S i Kontrolowane-sqrt (X) i wykonać pomiary w podstawie X, to mogę obniżyć do 10 bramek łącznie :

obwód

Craig Gidney
źródło
Ale na końcu używasz bramki + bramka kontrolowana warunkowo. Powiedziałbym, że wykracza to poza „normalne” zasady gry. (Np. Jeśli zastąpiłbyś to bramą kontrolowaną i odłożył pomiar, nadal używałbyś Toffoli.)
Norbert Schuch
1
@NorbertSchuch Właśnie dlatego poprzedzam drugi diagram słowem „jeśli wolno ci używać pomiaru i klasycznego sprzężenia zwrotnego”. Zauważ, że pierwszy diagram nie używa tych rzeczy.
Craig Gidney
UPS. Przepraszam. Mea culpa. Nie powinnam po prostu patrzeć na zdjęcia i przewijać trochę: - |
Norbert Schuch,
Pod koniec pierwszego obwodu piąty kubit jest odrzucany. Jak miałbym leczyć ten kubit, gdybym potrzebował wielu CCCZ w sekwencji?
Dyon J Don Kiwi van Vreumingen 27.08.18
Podałbyś go do następnego CCCZ, ale upuścisz dwie pierwsze operacje w obwodzie drugiego CCCZ. Operacje te przygotowują go do stanu T, czyli takiego stanu końcowego odrzuconego kubita. Tak więc drugi CCCZ miałby 2 operacji mniej.
Craig Gidney
4

Zamieszczam tutaj kolejny rozkład CCCZ na wypadek, gdyby był użyteczny dla każdego, kto próbuje skompilować CCCZ. Wymaga mniejszej liczby bramek całkowitych i tylko 1 pomocniczego kubita zamiast 2, ale pięciu kolejnych bramek 2-kubitowych niż odpowiedź „oczywista”, więc może być gorzej w przypadku implementacji na sprzęcie.

Użytkownik @Rob zasugerował w tym komentarzu: Automatyczna kompilacja obwodów kwantowych i pochodzi z tego artykułu .

enter image description here

GMS5(χ) brama jest taka:

z n=5 i wszystkich χij=χ, co oznacza, że ​​obejmuje 10 bramek dwu kubitowych. Będą one musiały zostać wkompilowane w zestaw bramek podany w pytaniu, więc tego rozkładu należy użyć tylko wtedy, gdy próbujesz zaoszczędzić na liczbie kubitów pomocniczych lub jeśli nie masz nic przeciwko posiadaniu większej liczby bramek 2-kubitowych w celu zmniejsz nieco głębokość obwodu.

użytkownik1271772
źródło
1
Brama GMS5 jest dość globalną bramą - trudno ją porównać do konwencjonalnej liczby bramek. I jest całkiem prawdopodobne, że nawet w scenariuszach, w których można wdrożyć tę bramę, nie będziesz mógł wybraćχjajot. Dlaczego nie wziąć logarytmu bramy CCCZ?
Norbert Schuch,
@NorbertSchuch: pytanie dotyczy CCCZ not log (CCCZ). Gdybyśmy mieli zrobić log (CCCZ), który prawdopodobnie sugerujecie, ponieważ GMS5 jest wykładniczą bramą elementarną, a logarytm tego może być łatwiejszy do wdrożenia, czy łatwo byłoby uzyskać wynik CCCZ z odpowiedzi na log ( CCCZ)?
user1271772,
Nie mam pojęcia, o czym mówisz. Sumy produktów lub Paulisa NIE są łatwe do wdrożenia. Nie są nawet jednolite. --- Ale logarytmy jednostek unitarnych są hamiltonianami, więc jeśli możesz ewoluować w czasie z logiem (CCCZ) poprzez jakąś inteligentną konfigurację eksperymentalną, otrzymasz CCCZ z „jedną bramą” w tym liczeniu.
Norbert Schuch,
2
@NorbertSchuch: Twój komentarz „exp (-iHt) jest mało adiabatyczny” jest semantycznie zerowy i nie ma żadnego sensu. Dlaczego zapytałeś mnie „dlaczego nie wziąć logarytmu bramy CCCZ?” ?
user1271772,
1
@ user1271772, aby dodać do tego, co (jak sądzę) Norbert mówi w komentarzach: problem próby znalezienia niezależnych od czasu Hamiltonianów bezpośrednio generujących nietrywialne bramy (CCX i inni są rozważani w artykule) został zbadany w arxiv.org/ abs / 1803.07119 . Problemem w tym ustawieniu jest znalezienie Hamiltonianów, które zawierają tylko możliwe interakcje i nadal generują bramkę docelową. Zasób staje się zatem tym, na co dozwolone są interakcje hamiltonowskie, a nie jakie dozwolone są bramy elementarne
glS
4

Istnieje kilka dużych oszczędności, które można wprowadzić w oparciu o określony zestaw bramek. Na przykład w typowej konstrukcji ccnot, jeśli zastąpiszT. brama z Z1/4, nie potrzebujesz tej korekcji fazy, która stanowi kilka ostatnich bramek między dwoma kubitami kontrolnymi. Ta konstrukcja, która jest zgodna z zestawem bram określonym w pytaniu, składa się z 21 bram, z których 10 to 2 kubity (nie potrzebujesz ostatniej bramki w obwodzie poniżej).

enter image description here

Aby być jasnym (w odpowiedzi na kilka komentarzy): zwykle patrzymy na Toffoli i staramy się, aby było to możliwe T.brama. Jeśli obie opcje są|1, następnie sekwencją bramki na docelowym kubicie jest H.XT.XT.XT.XT.H.. Teraz, odkądXT.X=T.mi-jaπ/4, sekwencja upraszcza się -jaH.T.4H.=-jaXi należy dodać kompensującą bramkę sterowaną S na dwóch kubitach kontrolnych. Jeśli zamiast tego korzystamyZ1/4, następnie XZ-1/4X=Z1/4, i żadna z tych brzydkich faz nie wchodzi w to, a to oszczędza ci bramy dwóch kubitów!

Zauważ też, że dwie bramy Toffoli są tylko Toffoli, ponieważ są skierowane na stan 0. Zwykle potrzebujesz dodatkowej bramki o dwóch kubitach.

Nie znalazłem tak skutecznej konstrukcji w istniejącej literaturze, chociaż ten dokument twierdzi, że konstrukcja wykorzystuje tylko 11 bramek 2-kubitowych, ale nie dokonałem pełnego zliczenia bramek po przekształceniu w ograniczony zestaw bramek pytania.

DaftWullie
źródło
Czujesz, że nie jesteś niezrozumiały. w dolnej połowie toru - ale nie myślałem o tym bardzo;)
Norbert Schuch
Obliczyłem ancilla, pomijając nieistotny pojedynczy obrót kubitów. Tak właśnie robi ostatni Toffoli. Przypuszczam, że Toffoli powinien być w odwróconych przecinkach, ponieważ brakuje 1 bramki na końcu.
DaftWullie
Czy jesteś pewien, że pierwszy blok to Toffoli - czy to tylko Toffoli w ancilla? (Pamiętam, że najlepszym rozwiązaniem dla Toffoli było około 8 CNOT).
Norbert Schuch,
Myślę, że brakuje korekcji fazy CS na dwóch najwyższych kubitach w środkowym bloku. Powinieneś być w stanie upuścić skrajnie lewy CZ z każdego z bocznych bloków.
Craig Gidney
Sprawdzę dokładnie we wtorek. Myślałem, że ten preparat uniknął cS.
DaftWullie
2

Podczas gdy moja inna odpowiedź jest najbardziej oczywistym sposobem „podręcznikowym” (używając dekompozycji CCCZ Nielsen & Chaung do CCNOT , a następnie kolejnej dekompozycji podręcznika do skompilowania CCNOT ), bardziej kreatywny sposób może pozwolić nam wykonać zadanie z mniejszą liczbą bramek.

Krok 1:

Zastąp wszystkie CNOT w obwodzie Nielsen & Chuang tym gadżetem:

enter image description here

Krok 2:

Teraz mamy kilka CCZ zamiast CCNOT i można je tak rozłożyć (dzięki uprzejmości tego artykułu ):

enter image description here

Krok 3:

Zauważ, że H.2)=ja, więc niektóre z tych Hadamardów znoszą się nawzajem i otrzymujemy jeszcze więcej zniżki :)

użytkownik1271772
źródło
Jaka jest liczba bramek?
Norbert Schuch,