Dlaczego nie może wystąpić błąd korygujący kod z mniej niż 5 kubitami?

Czytałem ostatnio o kodach korygujących błędy 9-qubit, 7-qubit i 5-qubit. Ale dlaczego nie może istnieć kod korygujący błędy kwantowe z mniej niż 5 kubitami?

Dowód, że potrzebujesz co najmniej 5 kubitów (lub qudytów)

Oto dowód, że każdy kod korekcji błędów kwantowych z pojedynczym błędem ( tj. Odległość 3) ma co najmniej 5 kubitów. W rzeczywistości uogólnia to na qudity dowolnego wymiaru $d$ oraz na dowolny kod korygujący błędy kwantowe chroniące jedną lub więcej qudits wymiaru $d$ .

(Jak zauważa Felix Huber , oryginalny dowód, że potrzebujesz co najmniej 5 kubitów, wynika z artykułu Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ], który określa warunki Knill - Laflamme: następująca technika jest dowodem który jest obecnie częściej używany).

Każdy kod korygujący błędy kwantowe, który może poprawić $t$ nieznane błędy, może również skorygować do $2t$ błędów wymazywania (w których po prostu tracimy kubit lub całkowicie się depolaryzuje lub podobnie), jeśli znane są miejsca usuniętych kubitów. [1 sekunda. III A] *. Nieco bardziej ogólnie, kod korygujący błąd kwantowy odległości $d$ może tolerować błędy kasowania $d-1$ . Na przykład podczas gdy $[\![4,2,2]\!]$ kod nie może w ogóle skorygować żadnych błędów, w istocie, ponieważ może powiedzieć, że wystąpił błąd (a nawet jaki rodzaj błędu), ale nie jest to, z którym kubitem się zdarzyło, ten sam kod może chronić przed pojedynczym błędem skasowania (ponieważ dzięki hipotezie wiemy dokładnie, gdzie występuje błąd w tym przypadku).

Wynika z tego, że każdy kod korygujący błąd kwantowy, który może tolerować jeden błąd Pauliego, może zregenerować się po utracie dwóch kubitów. Teraz: załóżmy, że masz kod poprawiający błąd kwantowy na $n \geqslant 2$ kubitach, kodujący jeden kubit przeciwko błędom pojedynczego kubita. Załóżmy, że dajesz $n-2$ kubitom Alice i $2$ kubitom Bobowi: wtedy Alice powinna być w stanie odzyskać pierwotnie zakodowany stan. Jeśli $n<5$ , to $2 \geqslant n-2$ , więc Bob również powinienbyć w stanie odzyskać pierwotnie zakodowany stan - tym samym uzyskując klon stanu Alicji. Jak wyklucza to twierdzenie o braku klonowania, wynika z tego, że zamiast tego musimy mieć $n \geqslant 5$ .

W sprawie korekty błędów wymazywania

* Najwcześniejsze odniesienie do tego znalazłem

[1] Grassl, Beth i Pellizzari.
      Kody dla kanału wymazywania kwantowego .
      Phys. Rev. A 56 (str. 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- co jest niedługo po tym, jak warunki Knilla – Laflamme'a zostały opisane w [ arXiv: quant-ph / 9604034 ], a zatem prawdopodobny jest oryginalny dowód związku między odległością kodu a błędami usuwania. Zarys jest następujący i dotyczy kodów korygujących błędy odległości $d$ (i stosuje się równie dobrze do quditów o dowolnym wymiarze zamiast kubitów, przy użyciu uogólnionych operatorów Pauli).

• Utratę kubitów $d-1$ można modelować przez kubity podlegające kanałowi całkowicie depolaryzującemu, co z kolei można modelować przez kubity podlegające jednakowo losowym błędom Pauliego.

• Gdyby lokalizacja tych kubitów $d-1$ była nieznana, byłoby to fatalne. Jednak, ponieważ ich lokalizacja jest znana, każdą parę błędów Pauliego na kubitach $d-1$ można odróżnić od siebie, odwołując się do warunków Knilla-Laflamme'a.

• Dlatego poprzez zastąpienie skasowanych kubitów kubitami w stanie maksymalnie wymieszanym i testowanie pod kątem błędów Pauli na tych kubitach $d-1$ (wymagając innej procedury korekcji niż w przypadku korekty arbitralnych błędów Pauli, pamiętaj), możesz odzyskać pierwotnego stanu.

Łatwo możemy udowodnić, że nie ma mniejszego nie-zdegenerowanego kodu.

W kodzie nie-zdegenerowanym musisz mieć 2 stany logiczne kubita i musisz mieć odrębny stan dla każdego możliwego błędu, aby odwzorować każdy stan logiczny. Powiedzmy, że masz kod qubit 5 z dwoma stanami logicznymi $|0_L\rangle$ i $|1_L\rangle$ . Zbiór możliwych błędów pojedynczego kubita to $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , a to oznacza, że ​​wszystkie stany

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ należy mapować do stanów ortogonalnych.

Jeśli zastosujemy ten argument ogólnie, pokaże nam, że potrzebujemy

$$2+2\times(3n)$$ odrębnych stanów. Ale dla $n$ kubitów maksymalna liczba odrębnych stanów wynosi $2^n$ . Tak więc, dla nie-zdegenerowanego błędu poprawnego kodu odległości 3 (tj. Korygującego co najmniej jeden błąd) lub większego, potrzebujemy $$2^n\geq 2(3n+1).$$ Nazywa się to Kwantową Hamming Bound. Możesz łatwo sprawdzić, czy dotyczy to wszystkich $n\geq 5$ , ale nie, jeśli $n<5$ . Rzeczywiście, dla $n=5$ nierówność jest równością, w wyniku czego odpowiedni kod 5-kubitowy nazywamy kodem idealnym.

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ $n$$k$$t$ jest liczbą$t$-qubit błędy poprawione przez kod. Tak jak$t$ jest związany z odległością o $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, wówczas takim nie-zdegenerowanym kodem kwantowym będzie $[[n,k,d]]$kod kwantowej korekcji błędów. To ograniczenie jest uzyskiwane za pomocą argumentu przypominającego upakowanie kuli, dzięki czemu$2^n$ wymiarowa przestrzeń Hilberta jest podzielona na $2^{n-k}$spacje, każde rozróżnione przez zmierzony syndrom, a zatem do każdego z zespołów przypisany jest jeden błąd, a operacja odzyskiwania odbywa się poprzez odwrócenie błędu związanego z takim zmierzonym syndromem. Dlatego liczba błędów całkowitych skorygowanych przez nie-zdegenerowany kod kwantowy powinna być mniejsza lub równa liczbie partycji według pomiaru syndromu.

Jednak degeneracja jest właściwością kwantowych kodów korekcji błędów, które implikują fakt, że istnieją klasy równoważności między błędami, które mogą wpływać na wysłane słowa kodowe. Oznacza to, że występują błędy, których wpływ na przesyłane słowa kodowe jest taki sam, a jednocześnie dotyczy tego samego syndromu. Oznacza to, że te klasy zdegenerowanych błędów są korygowane za pomocą tej samej operacji odzyskiwania, a zatem można poprawić więcej oczekiwanych błędów. Dlatego nie wiadomo, czy kwantowa granica Hamminga utrzymuje się dla tych zdegenerowanych kodów korekcji błędów, ponieważ w ten sposób można poprawić więcej błędów niż partycji. Proszę odnieść się do tego pytania, aby uzyskać informacje o naruszeniu kwantowej granicy Hamminga.

I wanted to add a short comment to the earliest reference. I believe this was shown already a bit earlier in Section 5.2 of

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

where the specific result is:

Theorem 5.1. A $(2^r,k)$ $e$-error-correcting quantum code must satisfy $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$.

Here, an $(N,K)$ code is an embedding of a $K$-dimensional subspace into an $N$-dimensional system; it is an $e$-error-correcting code if the system decomposes as a tensor product of qubits, and the code is capable of correcting errors of weight $e$. In particular, a $(2^n, 2^k)$ $e$-error-correcting code is what we would now describe as an $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ code. Theorem 5.1 then allows us to prove that for $k \geqslant 1$ and an odd integer $d \geqslant 3$, an $[\![n,k,d]\!]$ code must satisfy

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.