Dlaczego splątany kubit jest pokazany na początku sfery Blocha?

Nie jestem pewien, dlaczego reprezentacja sfery Blocha maksymalnie splątanego kubita pokazuje stan bitu jako będącego początkiem sfery.

Na przykład ta ilustracja

pokazuje efekt prostego obwodu

z czasem, z $q_0$ po lewej i $q_1$ po prawej. Oba kubity kończą się na początku swoich odpowiednich kulek po zastosowaniu $CNOT$ ( $q_1$ „czeka” na swojej wartości początkowej, dopóki $H$ przesunie się $q_1$ do $x$ ).

Dlaczego maksymalnie splątany kubit jest pokazany na początku sfery Blocha?

Tutaj znajduje się wyjaśnienie , ale jestem zbyt początkującym, aby je zastosować.

Sfera Blocha reprezentuje tylko stan pojedynczego kubita. Mówisz o przyjęciu stanu wielu kubitów i reprezentowaniu stanu tylko jednego z tych kubitów w sferze Blocha.

Jeśli stan wielu kubitów jest stanem produktu (czysty i możliwy do rozdzielenia), wówczas stan pojedynczego kubita jest stanem czystym i jest reprezentowany jako punkt na powierzchni kuli Blocha. Jeśli ogólny stan jest zaplątany, indywidualny kubit nie jest czysty i jest reprezentowany przez punkt znajdujący się we wnętrzu kuli Blocha. Im mniejsza odległość od centrum, tym bardziej mieszany jest pojedynczy kubit, a zatem tym bardziej uwikłany jest stan globalny. Maksymalnie splątany stan daje możliwie najkrótszą odległość, tj. Punkt w samym środku kuli. Odpowiedź AHussaina przedstawia matematykę formalnego obliczenia tego.

$(x,y,z)$$x^2+y^2+z^2 \leq 1$

Stan związany z tym punktem to

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$

$2\times 2$$d \neq 2$$d=2$ , równie dobrze możemy skorzystać z tej ładnej parametryzacji.

$(x,y,z)=(0,0,0)$$\rho$

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$

Jest to stan maksymalnie mieszany.

Pokazany jest stan tylko dla 1 kubita. Jest to wynik po częściowym śladzie nad drugim kubitem.

Więc jeśli spojrzysz na pierwszy $q_0$

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

Potem idzie do

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$$

Ale po CNOT jest

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$$d \neq 2$$d=2$$d$lub więcej kubitów. Nie bierz tej konkretnej parametryzacji zbyt poważnie, to pozwala nam tylko wykreślić stan w taki sposób, aby szybko przekazać informacje wizualnie.