Jak zastosować falki do PDE?

Chciałbym dowiedzieć się, w jaki sposób można zastosować metody falkowe do PDE, ale niestety nie znam dobrego zasobu, aby dowiedzieć się na ten temat.

Wydaje się, że wiele wstępów do falek koncentruje się na teorii interpolacji, np. Zestawianie sygnału przez superpozycję, najlepiej kilku falek. Czasami wspomina się o aplikacjach do PDE, bez zagłębiania się w ten temat. Interesują mnie dobre artykuły podsumowujące dla osób, które widziały WFT, ale nie mają więcej wiedzy na ten temat. Dobre podsumowanie byłoby również interesujące, jeśli uważasz, że można to zrobić.

Jestem szczególnie zainteresowany uzyskaniem wrażenia, jakie pytania zwykle się pojawiają. Na przykład wiem, że elementy skończone są zwykle stosowane do PDE na ograniczonej domenie z granicą Lipschitza, które są typowymi pytaniami przy wyborze przestrzeni ansatz (zgodnej, niezgodnej, geometrii i kombinatoryki), w jaki sposób ustanawia się teorię zbieżności ( tak naprawdę teoria Galerkina nie powinna być tak różna dla Wavelets) i mam intuicję, które matematyczne rzeczy są wykonalne w implementacjach. Takie spojrzenie z lotu ptaka na Wavelets dla PDE byłoby dla mnie bardzo pomocne.

Falki mają dobre właściwości aproksymacyjne dla wielu rozdzielczości, ale nie są szczególnie popularne w rozwiązywaniu PDE. Najczęściej wymienianymi przyczynami są trudność narzucania warunków brzegowych, leczenie niezaangażowanej anizotropii, ocena warunków nieliniowych i skuteczność.

Wavelets jako pierwsze uzyskały silne wyniki zbieżności dla metod w pełni adaptacyjnych (patrz Cohen, Dahmen i DeVore 2001 i 2002 ). Jednak za tą kluczową teorią szybko poszli Binev, Dahmen i DeVore (2004), którzy wykazali podobny wynik w przypadku adaptacyjnych metod elementów skończonych, które są bardziej popularne w przypadku tradycyjnych problemów PDE w średnich wymiarach. Podstawy falkowe są popularne w przypadku problemów z wyższymi wymiarami, takich jak rzadkie metody tensorowe dla stochastycznych PDE Schwab i Gittelson (2011) i tej dyskusji .

Operatory różniczkowe mają ograniczoną liczbę warunkową, gdy są wyrażane w zasadach falkowych i wstępnie kondycjonowane za pomocą Jacobiego (w ten sposób metody Kryłowa zbiegają się w stałej liczbie iteracji niezależnych od rozdzielczości). Jest to związane z hierarchicznymi wielosieciowymi metodami Yserentant (1984), Bank, Dupont i Yserentant (1988) i innych. Należy zauważyć, że multiplikatywne metody wielosiatkowe mają lepsze właściwości konwergencji niż metody addytywne. Standardowy wielosieciowy cykl V jest zasadniczo równoważny standardowemu symetrycznemu Gaussowi-Seidelowi w podstawie falkowej przy zwykłym uporządkowaniu. Zauważ, że rzadko jest to najlepszy sposób implementacji, zwłaszcza równolegle.

Operatory Calederona-Zygmunda i operatory pseudo-różnicowe są rzadkie w bazach falkowych. Tak więc wiele problemów, dla których matematyczne maty są przydatne w przypadku zwartych zasad, można elegancko potraktować za pomocą zasad falkowych.$\mathcal H$

Operatory różnicowe są względnie droższe w ocenie w podstawie falkowej i ustalenie pożądanych właściwości ochronnych może być trudne. Niektórzy autorzy (np. Wasiljew, Paolucci i Sen 1995) uciekają się do metod kolokacji i używają szablonów różnic skończonych do oceny pochodnych i terminów nieliniowych. Jeśli ekspansja falkowa jest zablokowana (zwykle dobra pod względem wydajności obliczeniowej), metody te stają się bardzo podobne do AMR o strukturze blokowej.

Sugeruję Beylkin i Keizer (1997) jako praktyczne wprowadzenie do rozwiązywania PDE za pomocą falek. MADNESS Kod jest oparty na tych metod. Obsługuje zanurzone granice (patrz Reuter, Hill i Harrison 2011 ), ale nie ma skutecznego sposobu na reprezentowanie warstw granicznych w skomplikowanej geometrii. Oprogramowanie jest często używane w przypadku problemów chemicznych, w których geometria nie stanowi problemu.

Do ogólnej analizy numerycznej falek sugeruję książkę Cohena z 2003 roku . Przedstawia strukturę analizy, w której manipuluje się rozwiązaniem kontinuum, dopóki nie będzie się oceniać z określoną dokładnością, w którym to momencie podstawa falki jest oceniana w razie potrzeby.