Czy ktoś mógłby polecić metodę dla następującego problemu najmniejszych kwadratów:
znajdź który minimalizuje: , gdzie jest jednostką (obrót) matryca.N ∑ i = 0 ( R x i - b i ) 2 → min
Mógłbym uzyskać przybliżone rozwiązanie, minimalizując (arbitralne A \ in \ mathbb {R} ^ {3 \ times 3} ), biorąc macierz A i:A∈R3×3
- obliczanie SVD: , upuszczanie i przybliżanie
- obliczanie rozkładu biegunowego: , upuszczanie symetryczne tylko w skali (i dodatnie w moim przypadku) i przybliżanie
Mógłbym również użyć rozkładu QR, ale nie byłby izometryczny (zależałoby od wyboru układu współrzędnych).
Czy ktoś wie, jak to zrobić, przynajmniej w przybliżeniu, ale z lepszym przybliżeniem niż dwie powyższe metody?
linear-algebra
least-squares
svd
Sergiy Migdalskiy
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Problem nazywa się problemem Wahby , jeden algorytm nazywa się algorytmem Kabscha , a później bardziej popularny nazywa się metodą Davenport q . Najwyraźniej jest wykorzystywany i badany w lotnictwie w celu określenia orientacji statku. Istnieje wiele recenzji na temat metod.
Uwaga: najlepsze dopasowanie może obejmować odbicie.
Metoda Kabscha oblicza macierz kowariancji 3x3 SVD i upuszcza wartość (odbicie modulo jeden, co zwykle jest uwzględniane przez zanegowanie ostatniej kolumny U w SVD). Uogólnienie na inną liczbę wymiarów jest bardzo proste.Σ U
Metoda q Davenporta jest często reklamowana jako pierwszy praktyczny algorytm, być może ktoś może komentować dlaczego. Konstruuje również macierz kowariancji 3x3, ale następnie parametryzuje macierz obrotu jako funkcję czwartorzędu, a problemem staje się obliczenie wektora własnego wartości maksymalnej dla symetrycznej macierzy 4x4.
(Niektóre z) najpopularniejszych implementacji numerycznych nazywane są QUEST i FOMA . Metody te są zwykle wariacją na temat obliczania maksymalnej wartości własnej przez zapisanie i optymalizację charakterystycznego wielomianu (kwartyk) i albo rozwiązywanie go analitycznie (dość skomplikowane obliczenia, przechodzenie przez formuły Kardano), albo z iteracją Newtona.
Schuster opracował również i przeanalizował niektóre warianty algorytmów iteracyjnych.
źródło