Czy jest jakiś sposób na „podwójne przygotowanie wstępne”

15

Pytanie:

Załóżmy, że masz dwa różne (uwzględnione) warunki wstępne dla symetrycznej dodatniej macierzy : i gdzie odwrotność czynników wynosi łatwy do zastosowania. $A$

ZA \approx b^{T.} b

$A \approx B^TB$

ZA \approx {do}^{T.} do,

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

Gdy jest to możliwe, aby wykorzystać informacje z zarówno i do budowania lepszego niż przygotowujący albo lub w spokoju? $B$ $C$ $B$ $C$

linear-algebra krylov-method preconditioning condition-number Nick Alger
źródło

13

Możesz użyć dodatku

{P.}_{za}^{- 1} x = (b^{T.} b)^{- 1} x + ({do}^{T.} do)^{- 1} x,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

mnożny

{P.}_{m}^{- 1} x = (b^{T.} b)^{- 1} x + ({do}^{T.} do)^{- 1} (x - ZA (b^{T.} b)^{- 1} x),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

lub symetryczny multiplikatyw. Metody tej klasy są dostępne w PETSc przy użyciu PCCOMPOSITE w PETSc. Na przykład,

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

Podręcznik użytkownika zawiera rozdział „Łączenie warunków wstępnych”.

Jed Brown
źródło

Wspaniale, dziękuję! Czy znasz jakieś teorie lub dokumenty, które omawiają warunki, w których te kombinacje byłyby skuteczne lub inne skuteczne, czy jest to po prostu próba i błąd?

Nick Alger

Podobnie jak w przypadku wszystkich warunków wstępnych, analiza dotyczy widma operatora kondycjonowanego, często wyrażanego przez ogólny problem wartości własnej. Intuicyjnie, jeśli każdy warunek wstępny jest ukierunkowany na różne procesy lub różne części widma, celem kombinacji jest poprawienie obu części. Najbardziej udane podejścia tej klasy oparte są na korekcji podprzestrzeni, która obejmuje wielosiatkę, dekompozycję domen i dzielenie pól (literatura dla każdej z nich). PETSc ma bardziej wyspecjalizowane warunki wstępne do ujawnienia równoległości lub ponownego wykorzystania wyników pośrednich w tych przypadkach.

Jed Brown

1

Oprócz doskonałej odpowiedzi Jeda, metoda, którą ostatnio znalazłem, polega na przełączaniu między warunkami wstępnymi na co drugim etapie elastycznego GMRES (FGMRES), jak to ma miejsce na przykład w

Tezduyar, TE i in. „Nowa mieszana metoda wstępnego kondycjonowania obliczeń elementów skończonych”. Metody komputerowe w stosowanej mechanice i inżynierii 99.1 (1992): 27-42. http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

Nick Alger
źródło

Czy jest jakiś sposób na „podwójne przygotowanie wstępne”

Odpowiedzi: