Ocena całek oscylacyjnych z wieloma niezależnymi okresami i bez zamkniętych postaci

Większość metod całkowania oscylacyjnego, jakie znam, dotyczy całek formy

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$ gdzie

ω

$\omega$ jest wielki.

Jeśli mam całkę z postaci gdzie są funkcjami oscylacyjnymi, których pierwiastki są znane tylko w przybliżeniu, ale pewnego rodzaju asymptotyczna forma jest znany, a częstotliwości są różne (i liniowo niezależny), to jak mogę ocenić tę całkę?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

W przeciwieństwie do , całki wielomianowe nie są znane, więc nie mogę zbudować zestawu interpolantów wielomianowych dla i zintegrować interpolanty dokładnie. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

W moim dokładnym problemie to funkcje Bessela $g_k$ $J_0(\omega_k x)$ i , a region integracji to . Metodą, której teraz używam, jest zsumowanie składowych całkowitych w przedziałach między pierwiastkami do pewnego odcięcia , a następnie użycie rozszerzenia asymptotycznego dla dla dużego . Czas złożoność tego algorytmu jest wykładniczy w ponieważ wiąże się rozwija produkt , z których każda ma liczbowo terminów asymptotyczne, dając $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ ogólne warunki; zbyt małe warunki przycinania nie skracają wystarczająco czasu działania, aby było to wykonalne dla dużej liczby . $n$

Mile widziane są heurystyczne, nieostre odpowiedzi, sugestie i referencje.

quadrature Cyryl
źródło

Odpowiedzi:

Pracowałem nad prostszymi całkami, w których istnieją punkty fazy stacjonarnej. Znalazłem dwie metody, które działają całkiem dobrze.

Jednym z nich jest wprowadzenie wykładniczego współczynnika tłumienia, który zależy od funkcji fazowej, rodzaj sztucznej lepkości, jeśli chcesz.

Inna technika (w której występuje wiele punktów fazy statystycznej) została opisana w:

Tuck, EO, Collins, JL i Wells, WH, „O falach statków i ich widmach”, Journal of Ship Research, s. 11–21, 1971.

Ta metoda stosuje wykładnicze współczynniki rozpadu do całki, gdzie szybko oscyluje ona od statystyki. wskazuje fazę, ale pozostawia integrand nietknięty tam, gdzie go nie ma.

To ja z pomysłów!

Lysistrata
źródło

Dziękuję, ale nie bardzo rozumiem, jak to by działało w tym przypadku. Po pierwsze, na linii rzeczywistej nie ma punktów fazy stacjonarnej, a udziały oscylacji są znaczące dla wartości końcowej, więc nie można ich tłumić.

Kirill,

Tak długo, jak masz dokładne wartości dla pierwiastków (lub ekstremów) oscylacyjnej części twojego integrandu, metoda Longmana (jak opisałem w tej odpowiedzi ) ma zastosowanie. Wszystko, co musisz zrobić, to ocenić wiązkę całek z interwałami między pierwiastkami, używając swojej ulubionej metody kwadraturowej, i potraktować te całki jako warunki niektórych naprzemiennych szeregów. Następnie można użyć dowolnej liczby metod przyspieszenia konwergencji (Euler, Levin, Weniger itp.) W celu „zsumowania” tej przemiennej serii.

Jako przykład, w tej odpowiedzi matematyki. , Oceniłem całkę nieskończoną, której część oscylacyjna jest iloczynem dwóch funkcji Bessela.

JM
źródło

Czy nie ma znaczenia, że korzenie są nieregularnie rozmieszczone (wszystkie okresy są nieracjonalne i niezależne)? Dlaczego miałbyś ufać przyspieszeniu konwergencji dla tak nieregularnej sekwencji?

Kirill

To było jakiś czas temu, chciałem oszacować całkę do tysiąca cyfr i jeśli dobrze pamiętam kwadratura oscylacyjna była właściwie pierwszą próbą. Nie pamiętam wyników, ale nie sądzę, aby działało to wtedy dobrze.

Kirill

„Dlaczego miałbyś ufać przyspieszeniu konwergencji dla tak nieregularnej sekwencji?” - Nie ufałbym tylko jednemu akceleratorowi, tho. Ale jeśli co najmniej trzy różne akceleratory dają mi spójne wyniki, pomyślałem, że otrzymane przeze mnie cyfry są co najmniej wiarygodne. FWIW, użyłem Longmana do nieskończonych całek produktów funkcji Bessela i nigdy się nie zawiodłem, szczególnie gdy użyłem transformacji Wenigera jako akceleratora.

Metoda, którą opisuję w pytaniu, jest również metodą kwadraturowej oscylacyjnej: rozwiń całkę w szeregu terminów postaci

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$ , całki nieskończone, dla których mają postać zamkniętą. Ufałbym takiej metodzie bardziej niż przyspieszeniu konwergencji. Rozumiem, że wymagają one czegoś takiego jak silna monotoniczność lub dobre zrozumienie warunków błędów, aby mieć pewność, że działają dobrze.

Kirill

Jeśli możesz zrobić (uogólnione) rozszerzenie Fouriera, to na pewno.